Prodotto interno

In matematica, il prodotto interno o derivata interna è una derivazione di grado −1 sull'algebra esterna delle forme differenziali su varietà lisce.

Definizione

Dato uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$, detto ${\displaystyle \Lambda ^{p}V}$ l'insieme delle ${\displaystyle p}$-forme su ${\displaystyle V}$, per ogni vettore ${\displaystyle X\in V}$ si definisce ${\displaystyle \iota _{X}}$ l'applicazione

${\displaystyle \iota _{X}:\Lambda ^{p}V\to \Lambda ^{p-1}V}$

${\displaystyle \omega \mapsto \iota _{X}\omega }$

per cui

${\displaystyle (\iota _{X}\omega )(X_{1},\dots ,X_{p-1})=\omega (X,X_{1},\dots ,X_{p-1})}$

Pertanto, il prodotto interno agisce su una ${\displaystyle p}$-forma restituendo una ${\displaystyle (p-1)}$-forma data dalla contrazione della forma differenziale con il vettore associato al prodotto.

A partire dalla definizione è facile dimostrare alcune proprietà del prodotto interno:

• Linearità in ${\displaystyle \omega }$
• Linearità in ${\displaystyle X}$
• Regola di Leibniz graduata: ${\displaystyle \iota _{X}(\omega \wedge \xi )=(\iota _{X}\omega )\wedge \xi +(-1)^{p}\omega \wedge \iota _{X}\xi \qquad \omega \in \Lambda ^{p}}$
• Anticommutatività: ${\displaystyle \iota _{X}\iota _{Y}+\iota _{Y}\iota _{X}=0}$

Dall'anticommutatività discende immediatamente la nilpotenza, ovvero ${\displaystyle \iota _{X}^{2}=0}$. Tale proprietà, unità alla validità della regola di Leibniz graduata, rende il prodotto interno un'operazione di derivazione, in questo caso di grado ${\displaystyle -1}$ perché la forma di arrivo è di un ordine inferiore rispetto a quella di partenza.

Bibliografia

• (EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002.
• (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990.
• (EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 978-0-486-64039-6.