it Poligono sghembo

In geometria descrittiva, un poligono sghembo è un poligono (ossia un 2-politopo) i cui vertici non sono tutti complanari.^[1] La superficie di tali poligoni, che devono avere almeno quattro vertici, non è definita in modo univoco.

Un particolare tipo di poligoni sghembi, detti poligoni antiprismatici o poligoni sghembi a zig-zag, che include poi tutti i poligoni sghembi regolari tridimensionali nonché gli apeirogoni sghembi regolari bidimensionali, ha i vertici che si alternano su due piani paralleli ed ha quindi sempre un numero pari di vertici.

Poligoni antiprismatici in tre dimensioni

Un poligono sghembo regolare è una figura isogonale equilatera. In uno spazio tridimensionale tale poligono è un poligono sghembo a zig-zag (o antiprismatico), con vertici alternati tra due piani paralleli. Gli spigoli laterali di un antiprisma n-gonale possono ad esempio definire un 2n-gono sghembo regolare.^[2]

A un n-gono sghembo regolare può essere assegnato un simbolo di Schläfli {p}#{ } dato dalla combinazione del simbolo di un poligono regolare {p} e quello di un segmento ortogonale { }.

Nella tabella sottostante sono mostrati esempi relativi ad antriprismi quadrati e pentagonali uniformi. Si noti come gli antiprismi stellati possano generare anche poligoni sghembi regolari aventi un diverso ordine di connessione tra i poligoni superiore ed inferiore. Si noti inoltre che questi ultimi due vengono rappresentati colorati solo per chiarezza e non per indicare una loro appartenenza ai poligoni sghembi.

Poligoni sghembi regolari a zig-zag
Quadrato sghembo	Esagono sghembo	Ottagono sghembo	Decagono sghembo			Dodecagono sghembo
{2}#{ }	{3}#{ }	{4}#{ }	{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }	{6}#{ }

s{2,4}	s{2,6}	s{2,8}	s{2,10}	sr{2,5/2}	s{2,10/3}	s{2,12}

Allo stesso modo si può realizzare un composto 2n-gonale sghembo aggiungendo un secondo poligono sghembo per rotazione. In tal caso le due figure condividono gli stessi vertici come in un composto prismatico di antiprismi.

Composti regolari di poligoni sghembi a zig-zag
Quadrati sghembi		Esagoni sghembi	Decagoni sghembi
Due {2}#{ }	Tre {2}#{ }	Due {3}#{ }	Due {5/3}#{ }

I poligoni di Petrie sono poligoni sghembi regolari definiti all'interno di poliedri e politopi regolari. Ad esempio, come si vede nelle figure sottostanti in cui le proiezioni ortogonali dei poligoni sghembi sono evidenziate di rosso, i cinque solidi platonici contengono poligoni sghembi regolari di 4, 6 e 10 lati. In particolare, poi, il tetraedro e l'ottaedro includono tutti i loro vertici nei rispettivi poligoni sghembi a zig-zag e possono essere visti rispettivamente come un antiprisma digonale e un antiprisma triangolare.^[3]

Poligoni sghembi regolari come figure al vertice di poliedri sghembi regolari

Un poliedro sghembo regolare è definito come un poliedro avente per facce un poligono regolare e come figura al vertice un poligono sghembo regolare.

Come mostrato nella sottostante tabella, nello spazio tridimensionale esistono tre poliedri sghembi regolari in grado di tassellare perfettamente lo spazio, vale a dire tre apeiroedri sghembi regolari.

Figure al vertice sghembe dei tre apeiroedri sghembi regolari
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}
Esagono sghembo regolare {3}#{ }	Quadrato sghembo regolare {2}#{ }	Esagono sghembo regolare {3}#{ }

Poligoni sghembi isogonali in tre dimensioni

Un poligono sghembo isogonale è un poligono sghembo avente un unico tipo di vertici e connesso da due tipi di lati. Qualora i lati di tale poligono siano di pari lunghezza, allora esso può essere considerato quasi-regolare. Si tratta di un poligono sghembo simile a un poligono sghembo a zig-zag, ossia avente come quest'ultimo i vertici posti su due piani diversi, in cui però uno o più lati possono connettere vertici posti sullo stesso piano.^[2]

Come mostrato nella tabella sottostante, poligoni sghembi isogonali possono essere definiti su prismi n-gonali con n pari, connettendo alternativamente due vertici su uno stesso piano e due vertici posti su piani diversi.

Ottagono			Dodecagono			Icositetragono
Cubo, diagonale-quadrato	Cubo	Cubo incrociato	Prisma esagonale	Prisma esagonale	Prisma esagonale	Prisma ritorto

Poligoni sghembi regolari in quattro dimensioni

In uno spazio a quattro dimensioni, un poligono sghembo regolare può avere i vertici posti su un toro di Clifford e correlati da rotazioni isocline. Contrariamente ai poligoni sghembi a zig-zag, i poligoni sghembi su rotazioni doppie possono avere anche un numero dispari di lati.

I poligoni di Petrie di policori regolari definiscono poligoni sghembi regolari a zig-zag. Il numero di Coxeter per ogni gruppo di Coxeter indica poi quanti lati tali poligoni di Petrie abbiano; così ad esempio esso è 5 nel caso di un 5-cella (o ipertetraedro), 8 per un tesseratto e un 16-cella (o esadecacoro), 12 per un 24-cella e 30 per un 120-cella e un 600-cella.

A₄, [3,3,3]	B₄, [4,3,3]		F₄, [3,4,3]	H₄, [5,3,3]
Pentagono	Ottagono		Dodecagono	Triacontagono
5-cella {3,3,3}	tesseratto {4,3,3}	16-cella {3,3,4}	24-cella {3,4,3}	120-cella {5,3,3}	600-cella {3,3,5}

Anche i duoprismi n-n e le duopiramidi loro duali hanno poligoni di Petri 2n-gonali (il tesseratto è di fatto un duoprisma 4-4 e il 16-cella è una duopiramide 4-4.)

Esagono		Decagono		Dodecagono
Duoprisma 3-3	Dueopiramide 3-3	Duoprisma 5-5	Dueopiramide 5-5	Duoprisma 6-6	Dueopiramide 6-6

Note

^ Luca Goldoni, Complementi sui poligoni (PDF), Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, Dicembre 2015, DOI:10.13140/RG.2.1.3360.6487. URL consultato il 20 aprile 2022.
^ ^a ^b Harold Scott Macdonald Coxeter, Polygons and Polyhedra, in Regular Polytopes, 3ª ed., New York, Courier Corporation, 1973.
^ Harold Scott Macdonald Coxeter, Regular Complex Polytopes, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39490-2.