Cresciuto nel settore giovanile dell'Afturelding, Bjarkason debutta in prima squadra il 5 luglio 2017 in un incontro di 2. deild karla vinto 3-1 contro il Völsungur; il 6 dicembre seguente passa all'ÍA Akraness dove rimane per tre stagioni segnando 5 reti in 41 incontri.
Il 21 agosto 2020 viene acquistato dal Venezia;[4] debutta con il club il 30 settembre 2020 giocando da titolare l'incontro di Coppa Italia vinto 2-0 contro la Carrarese.
Il 14 gennaio 2022 viene ceduto in prestito al Catanzaro.[5][6]
A fine prestito fa ritorno in laguna, venendo schierato solo il 7 agosto in Coppa Italia contro l'Ascoli e resta sino al 20 gennaio 2023, giorno in cui viene ceduto in prestito al Foggia.[7][8]Con i pugliesi segna i primi gol nei professionisti italiani, andando a segno nelle ultime due giornate contro Catanzaro[9] e Turris. [10]
Resta nella rosa dei lagunari per la stagione 2023/2024, ruesce a giocare con più continuiità ed il 30 settembre 2023 segna la sua prima rete con i veneti nel successo per 3-1 in casa del Modena.[11]
Nel novembre 2022 viene convocato per la prima volta in nazionale maggiore,[13] esordendo nella gara amichevole contro l'Arabia Saudita del 6 novembre.