En mathématiques, le premier ordinal non dénombrable, noté ω₁ ou parfois Ω, est le plus petit ordinalnon dénombrable ; c'est aussi l'ensemble des ordinaux finis ou infinis dénombrables. En d'autres termes, c'est l'ordinal de Hartogs de tout ensemble infini dénombrable.
Principales propriétés
ω₁ est le supremum de tous les ordinaux au plus dénombrables ; ce sont ses éléments.
Le cardinal de l'ensemble ω₁ est le deuxième nombre cardinal infini et est noté ℵ₁ (aleph-1). L'ordinal ω₁ est donc l'ordinal initial de ℵ₁. Dans la plupart des constructions, ω₁ et ℵ₁ sont égaux en tant qu'ensembles. Plus généralement : si α est un ordinal arbitraire, on peut définir ωα comme l'ordinal initial du cardinal ℵα.
Toute fonction continue de [0, ω₁[ vers ℝ (ou vers n'importe quel espace de Lindelöfséparé à bases dénombrables de voisinages) est même constante à partir d'un certain point[1]. Par conséquent, le compactifié d'Alexandrov de ω₁ est aussi son compactifié de Stone-Čech.