Espace séquentiel

En mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable.

Définitions

Soit X un espace topologique.

• Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (x_n) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang »[1].
• Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (x_n) de F vers x implique que x appartient à F.

Le complémentaire d'un sous-ensemble séquentiellement fermé est séquentiellement ouvert et vice-versa. Tout ouvert (resp. fermé) de X est séquentiellement ouvert (resp. fermé) mais les réciproques sont fausses en général, ce qui motive la définition suivante.

L'espace X est dit séquentiel s'il satisfaisait l'une des conditions équivalentes suivantes :

• tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
• tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.

Historique

Dans un article fondateur[2] sur les algèbres qui portent son nom, von Neumann soulignait que, dans l'espace ℓ^2(ℕ*) muni de la topologie faible, 0 est adhérent à l'ensemble des e_m + me_n mais n'appartient pas à sa fermeture séquentielle (car ses suites convergentes sont bornées en norme donc m est constant à partir d'un certain rang)[3].

Les espaces « qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes » ont fait dans les années 1960 l'objet de nombreuses études, que S. P. Franklin a synthétisées et généralisées[4],[5].

Les espaces séquentiels répondent un peu à cette spécification informelle et les espaces de Fréchet-Urysohn un peu mieux, à condition de ne pas la surinterpréter : par exemple sur l'espace ℓ^1, la topologie forte est strictement plus fine que la faible mais les suites convergentes sont les mêmes.

Définitions équivalentes

Soit X un espace topologique.

Les sous-ensembles séquentiellement ouverts forment une nouvelle topologie sur X ; l'espace est séquentiel si et seulement si sa « topologie séquentielle » (plus fine a priori) coïncide avec sa topologie originelle[6].

Moins trivialement, les propriétés suivantes sont équivalentes[6] :

• X est séquentiel ;
• X est le quotient d'un espace à bases dénombrables de voisinages ;
• X est le quotient d'un espace métrique ;
• pour tout espace topologique Y et toute application f : X → Y, f est continue si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en tout point x de X, c'est-à-dire que pour toute suite de points (x_n) convergeant vers x, la suite (f(x_n)) converge vers f(x).

Exemples

• Tout espace métrisable est séquentiel, en particulier tout espace discret.
• Tout CW-complexe aussi (comme quotient d'un espace métrique), sans être nécessairement à bases dénombrables de voisinages (cf. le bouquet de cercles ℝ/ℤ).
• Un exemple simple d'espace non séquentiel est la topologie codénombrable sur un ensemble infini non dénombrable (ses seules suites convergentes sont les suites stationnaires).

Propriétés

Pour un espace T₁ séquentiel, la compacité séquentielle équivaut à la compacité dénombrable.

Tout espace séquentiel est dénombrablement engendré, ou d'étroitesse dénombrable[7] (en anglais : countably tight) – c'est-à-dire que tout point adhérent à une partie est adhérent à une sous-partie au plus dénombrable – mais la réciproque est fausse : il existe même des espaces séparés dénombrables non séquentiels[8],[9] et sous l'hypothèse ♢ (en), il existe même des compacts dénombrablement étroits mais non séquentiels[10]. Cependant, sous l'hypothèse du forcing propre (en), il n'en existe pas[11].

Adhérence séquentielle

En anglais «sequential closure»; on verra ci-dessous que traduire littéralement par «fermeture séquentielle» serait maladroit.

Soit un sous-ensemble ${\displaystyle A\subset X}$ d'un espace ${\displaystyle X}$, l'adhérence séquentielle ${\displaystyle \left[A\right]_{\mbox{seq}}}$ est l'ensemble :

${\displaystyle \left[A\right]_{\mbox{seq}}=\{x\in X\mid \exists u\in A^{\mathbb {N} }\quad u\to x\}}$

c'est-à-dire l'ensemble de tous les points ${\displaystyle x\in X}$ pour lesquels il existe une suite d'éléments de ${\displaystyle A}$ qui converge vers ${\displaystyle x}$. (C'est un sous-ensemble de l'adhérence ordinaire ${\displaystyle {\bar {A}}}$.)

Une partie est donc séquentiellement fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence séquentielle.

L'application

${\displaystyle \left[\,\cdot \,\right]_{\mbox{seq}}:A\mapsto \left[A\right]_{\mbox{seq}}}$

est appelée opérateur de fermeture séquentielle.

Elle partage des propriétés avec l'adhérence ordinaire, notamment :

• l'ensemble vide est séquentiellement fermé :${\displaystyle \left[\varnothing \right]_{\mbox{seq}}=\varnothing }$
• toute partie est incluse dans sa fermeture séquentielle :${\displaystyle \forall A\subset X,~A\subset \left[A\right]_{\mbox{seq}}}$
• la fermeture séquentielle commute avec l'union :${\displaystyle \forall A,B\subset X,~\left[A\cup B\right]_{\mbox{seq}}=\left[A\right]_{\mbox{seq}}\cup \left[B\right]_{\mbox{seq}}.}$

Cependant, contrairement à l'adhérence ordinaire et même si X est séquentiel, l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement pas un opérateur de clôture mais seulement de préclôture car il n'est pas idempotent, c'est-à-dire qu'il peut exister une partie A de X telle que :

${\displaystyle \left[\left[A\right]_{\mbox{seq}}\right]_{\mbox{seq}}\neq \left[A\right]_{\mbox{seq}}.}$

Autrement dit :  l'adhérence séquentielle  d'une partie A de X n'est pas toujours séquentiellement fermée.

La plus petite partie séquentiellement fermée de X contenant A (l'adhérence de A pour la « topologie séquentielle » définie ci-dessus) s'obtient en itérant cette construction par récurrence transfinie[12] :

${\displaystyle A^{(0)}=A,~A^{(\alpha +1)}=\left[A^{(\alpha )}\right]_{\mbox{seq}}{\text{ et si }}\alpha {\text{ est un ordinal limite, }}A^{(\alpha )}=\cup _{\beta <\alpha }A^{(\beta )}.}$

On appelle ordre séquentiel de la partie A le plus petit ordinal α pour lequel A^(α) est séquentiellement fermé et ordre séquentiel de l'espace X la borne supérieure des ordres séquentiels de ses parties. Ces ordres sont au plus égaux au premier ordinal non dénombrable.

Si X est séquentiel on a donc :

${\displaystyle {\overline {A}}=A^{(\omega _{1})}.}$

Espace de Fréchet-Urysohn

Les espaces de Fréchet-Urysohn[13] – d'après Maurice Fréchet et Pavel Urysohn – sont ceux pour lesquels l'adhérence séquentielle coïncide avec l'adhérence ordinaire, c'est-à-dire :

${\displaystyle \forall A\subset X,~\left[A\right]_{\mbox{seq}}={\overline {A}}.}$

Autrement dit : ce sont les espaces séquentiels dont l'ordre séquentiel est égal à 1.

Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.

Également, un espace X est de Fréchet-Urysohn si et seulement si, pour tout espace topologique Y, toute application f : X → Y et tout point x de X, f est continue au point x si (et seulement si) elle est séquentiellement continue en ce point[14], c'est-à-dire si f(u_n) tend vers f(x) pour toute suite (u_n) qui tend vers x.

Exemples.

• Tout espace à bases dénombrables de voisinages est de Fréchet-Urysohn.
• Un exemple d'espace de Fréchet-Urysohn qui n'est pas à bases dénombrables de voisinages est le bouquet de cercles ℝ/ℤ.
• Le prototype d'espace séquentiel qui n'est pas de Fréchet-Urysohn est l'espace d'Arens[15]. Plus précisément : un espace séquentiel est de Fréchet-Urysohn si et seulement s'il ne contient pas de copie de cet espace[8] et on peut l'utiliser pour construire, pour tout ordinal α ≤ ω₁, un espace séquentiel dont l'ordre séquentiel est égal à α[16].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Sequential space » (voir la liste des auteurs).

1. C'est-à-dire qu'il existe N tel que x_n est dans U pour tout n ≥ N.
2. (de) J. von Neumann, « Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren », Math. Ann., vol. 102, n^o 1,‎ 1929, p. 370-427 (lire en ligne), p. 380
3. (en) Paul R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, coll. « GTM » (n^o 19), 1982, 2^e éd., 369 p. (ISBN 978-0-387-90685-0, lire en ligne), p. 185 donne, comme étape de solution de son problème 28 (montrer que la topologie faible de ℓ^2 n'est pas métrisable), un exemple plus simple qu'il attribue à Allen Lowell Shields (en) : l'ensemble des √n e_n, pour n > 0.
4. (en) S. P. Franklin, « Spaces in Which Sequences Suffice », Fund. Math., vol. 57,‎ 1965, p. 107-115 (lire en ligne)
5. (en) S. P. Franklin, « Spaces in Which Sequences Suffice II », Fund. Math., vol. 61,‎ 1967, p. 51-56 (lire en ligne)
6. (en) « Sequential spaces, II », sur Dan Ma's Topology Blog (tous les espaces y sont supposés séparés).
7. (en) D. H. Fremlin, Measure Theory, vol. 4, Torres Fremlin, 2000, 945 p. (ISBN 978-0-9538129-4-3, lire en ligne), chap. 4A2 (« Appendix, § General topology »), p. 331
8. (en) « A note about the Arens’ space », sur Dan Ma's Topology Blog
9. (en) « The difference between a sequential space and a space with countable tightness », sur MathOverflow
10. (en) V. V. Fedorcuk, « Fully closed mappings and the consistency of some theorems of general topology with the axioms of set theory », Math. USSR, vol. 28,‎ 1976, p. 1-26
11. (en) Zoltan Balogh (en), « On compact Hausdorff spaces of countable tightness », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 105, n^o 3,‎ 1989 (lire en ligne)
12. (en) Alan Dow, « Sequential Order », dans M. Pearl Elliott, Open Problems in Topology, vol. II, Elsevier, 2011 (ISBN 9780080475295, lire en ligne), p. 125-127
13. Selon (en) Woo Chorl Hong, « Some necessary and sufficient conditions for a Fréchet-Urysohn space to be sequentially compact », Commun. Korean Math. Soc., vol. 24, n^o 1,‎ 2009, p. 145-152 (lire en ligne), ces espaces sont appelés
    • Fréchet-Urysohn par (en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, New York, Springer, 1990, 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
    • Fréchet par Franklin 1967
    • closure sequential par (en) A. Wilansky, Topology for Analysis, Ginn and Company, 1970.
14. (en) Martin Sleziak, « Characterization of Fréchet-Urysohn spaces using sequential continuity at a point », sur MathOverflow
15. (en) A. V. Arkhangelskii et V. I. Ponomarev, Fundamentals of General Topology : Problems and Exercises, Springer, 2001, 416 p. (ISBN 978-1-4020-0308-0, lire en ligne), p. 59-60, exercice 113, iii
16. (en) A. V. Arhangel'skiĭ et S. P. Franklin, « Ordinal invariants for topological spaces », Michigan Math. J., vol. 15, n^o 4,‎ 1968, p. 506 (lire en ligne)

• (en) Ryszard Engelking, General Topology, Warsaw, PWN, 1977
• (en) Anthony Goreham, « Sequential Convergence in Topological Spaces », déc. 2004, arXiv:math/0412558