Espace monotonement normal

En mathématiques, un espace monotonement normal[1] est un espace topologique vérifiant une certaine propriété de séparation, plus forte que la normalité complète.

Définition

Un espace T₁ X est dit monotonement normal lorsqu'il vérifie les propriétés équivalentes suivantes[2],[3],[4],[5] :

1. il existe une base d'ouverts de X et une application H qui à tout ouvert U de la base et tout point x de U associe un ouvert H(x, U), telle que :
   • H(x, U) est inclus dans U et contient x,
   • et si H(x, U) rencontre H(y, V) alors x appartient à V ou y à U ;
2. il existe une application H qui associe plus généralement un ouvert H(x, U) à tout ouvert U et tout point x de U, qui vérifie les deux mêmes conditions et qui est croissante par rapport à U ;
3. il existe une application G qui à tous fermés disjoints A et B associe un ouvert G(A, B), telle que
   • ${\displaystyle A\subset G(A,B)\subset {\overline {G(A,B)}}\subset X\setminus B{\text{ et}}}$
   • ${\displaystyle \left(A\subset A'{\text{ et }}B\supset B'\right)\Rightarrow G(A,B)\subset G(A',B')}$

   (G peut alors être choisie telle que G(A, B) et G(B, A) soient toujours disjoints, en remplaçant chaque G(A, B) par G(A, B)\G(B, A)) ;

4. il existe une application G qui associe plus généralement un ouvert G(A, B) à toutes parties A et B « séparées » — c'est-à-dire telles que A ∩ B = ∅ = B ∩ A — et qui vérifie les deux mêmes conditions.

Preuve de l'équivalence

On a évidemment 2 ⇒ 1 et 4 ⇒ 3.

1 ⇒ 2 : à partir d'une application H vérifiant 1 (définie seulement pour les ouverts d'une base), on peut construire H' vérifiant 2, en définissant H'(x, U) (pour tout ouvert U contenant x) comme la réunion des H(x, V), pour tous les ouverts V de la base inclus dans U et contenant x.

2 ⇒ 4 en prenant pour G(A, B) la réunion des H(x, X\B) quand x parcourt A.

3 ⇒ 2 en partant d'un G qui vérifie la condition supplémentaire G(A, B) ∩ G(B, A) = ∅ et en posant H(x, U) = G({x}, X\U).

Exemples

La première des quatre définitions équivalentes est commode pour traiter les trois exemples suivants[4] :

• tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est monotonement normal[2], l'axiome du choix étant ici indispensable[6] ;
• tout espace métrisable est monotonement normal[7] ;
• la droite de Sorgenfrey (ni ordonnable, ni métrisable) aussi.

Preuve de la normalité monotone des trois exemples

• Tout ensemble totalement ordonné muni de la topologie de l'ordre est monotonement normal : soit (X, ≤) totalement ordonné. Pour tout intervalle ouvert ]c, d[ et tout point x de ]c, d[, on pose H(x, ]c, d[) = ]G_c(x), D_d(x)[, les bornes G_c(x) et D_d(x) étant définies comme suit, à l'aide d'un bon ordre ≼ sur X préalablement choisi (indépendant de ≤) :
  • si ]c, x[ est vide alors G_c(x) = c et sinon, G_c(x) = l'élément de ]c, x[ le plus petit pour ≼ ;
  • de même, si ]x, d[ est vide alors D_d(x) = d et sinon, D_d(x) = l'élément de ]x, d[ le plus petit pour ≼.

Si x appartient à ]c, d[ mais pas à ]e, f[ et si y appartient à ]e, f[ mais pas à ]c, d[, avec par exemple x < y, montrons par l'absurde que ]G_c(x), D_d(x)[ et ]G_e(y), D_f(y)[ ne peuvent avoir un point commun z : on aurait alors x ≤ e < z < d ≤ y donc ]x, d[ non vide et par conséquent D_d(x) ∈ ]z, d[ ⊂ ]e, y[ d'où, par définition, G_e(y) ≼ D_d(x) et de même, ]e, y[ non vide d'où D_d(x) ≼ G_e(y), si bien que finalement D_d(x) serait égal à G_e(y), ce qui contredirait l'existence de z.

• Tout espace métrisable est monotonement normal : il suffit de poser, pour toute boule ouverte B(y, R) contenant x : H(x, B(y, R)) = B(x, r) pour un r > 0 tel que B(x, 2r) ⊂ B(y, R) ;
• La droite de Sorgenfrey aussi : il suffit de poser, pour tout intervalle [a, b[ contenant x : H(x, [a, b[) = [x, b[.

Propriétés

La première ou la deuxième des quatre définitions équivalentes montre que la normalité monotone est héréditaire, c'est-à-dire qu'elle passe aux sous-espaces.

La troisième justifie le nom de « monotonement normal » et a pour conséquence que X est collectivement normal[2],[5].

Démonstration

Soit (A_i)_i∈I une famille discrète de fermés de X. Pour tout i, la réunion B_i de tous les A_j pour j ≠ i est fermée (puisque (A_i)_i∈I est localement finie) et si G vérifie la définition 3 avec la condition supplémentaire G(A, B) ∩ G(B, A) = ∅, l'ouvert G(A_i, B_i) contient A_i et les G(A_i, B_i) sont disjoints.

On déduit de ces deux propriétés :

Tout espace monotonement normal est héréditairement collectivement normal.

En particulier, il est héréditairement normal, autrement dit complètement normal, ce qui se déduit aussi directement de la dernière des quatre définitions équivalentes.

Toute image d'un espace monotonement normal par une application continue fermée est monotonement normale[2],[5].

Démonstration

Soient X monotonement normal et f : X → Y une surjection continue fermée. Alors Y est un espace T₁ et si G est une application vérifiant la définition 3 pour X alors l'application G' suivante la vérifie pour Y : pour tous fermés disjoints S et T de Y,${\displaystyle G'(S,T)=Y\setminus f\left(X\setminus G(f^{-1}(S),f^{-1}(T))\right).}$

Une conjecture de Jacek Nikiel (pl), démontrée par Mary Ellen Rudin[8], fournit une forme de réciproque : tout espace compact monotonement normal est l'image continue d'un compact ordonnable.

Notes et références

1. (en) Miroslav Hušek et Jan van Mill, Recent Progress in General Topology, vol. 2, Elsevier, 2002, 638 p. (ISBN 978-0-444-50980-2, lire en ligne), p. 207 donnent un aperçu historique, technique et bibliographique sur cette notion.
2. (en) R. W. Heath, D. J. Lutzer et P. L. Zenor, « Monotonically normal spaces », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 178,‎ avril 1973, p. 481-493 (lire en ligne).
3. (en) Carlos R. Borges, « A study of monotonically normal spaces », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 38, n^o 1,‎ mars 1973, p. 211-214 (lire en ligne).
4. (en) Henno Brandsma, « monotone normality, linear orders and the Sorgenfrey line », sur Topology Atlas, 13 décembre 2003.
5. (en) Henno Brandsma, « Re: Re: monotone normality, linear orders and the Sorgenfrey line », sur Topology Atlas, 14 décembre 2003.
6. (en) Eric van Douwen (en), « Horrors of Topology Without AC: A Nonnormal Orderable Space », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 95, n^o 1,‎ 1985, p. 101-105 (lire en ligne).
7. Pour des généralisations, voir (en) Kiiti Morita et Jun-iti Nagata, Topics in General Topology, Amsterdam/New York/New York, N.Y., U.S.A., Elsevier, 1989 (ISBN 978-0-444-70455-9, lire en ligne), p. 371.
8. (en) Harold Bennet et David Lutzer, « Linearly ordered and generalized ordered spaces », dans Klaus P. Hart, Jun-iti Nagata et Jerry E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2004 (ISBN 978-0444503558, lire en ligne), p. 329.