Loi logit-normale

	Logit-normal
	; Densité de probabilité
	; Fonction de répartition
Paramètres	σ2 > 0,;
Support
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Espérance	pas d'expression analytique
Médiane
Mode	pas d'expression analytique
Variance	pas d'expression analytique
Fonction génératrice des moments	pas d'expression analytique
	modifier

En théorie des probabilités et en statistique, la loi logit-normale est une loi de probabilité telle que la fonction logit de cette loi soit de loi normale. Si Y est une variable aléatoire de loi normale, et P est la fonction logistique, alors $X=P(Y)$ est de loi logit-normale, de manière similaire, si X est de loi logit-normale, alors $Y=logit(X)$ est de loi normale.

Caractérisations

densité de probabilité

La densité de probabilité de la loi logit-normale est :

f_{X}(x;\mu ,\sigma )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(\operatorname {logit} (x)-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\frac {1}{x(1-x)}}&{\hbox{ pour }}x\in ]0,1[\\0&{\hbox{ sinon }}\end{cases}}

où μ et σ sont l'espérance et l'écart-type du logit de la variable (par définition, le logit de X est de loi normale).

La densité obtenue en changeant le signe de μ est symétrique, c'est-à-dire $f_{X}(x;\mu ,\sigma )=f_{X}(1-x;-\mu ,\sigma )$ , le nouveau mode est symétrique à l'ancien par rapport à 1/2.

Moments

Les moments de la loi logit-normale n'ont pas d'expression analytique. Il est cependant possible de les estimer par des approximations d'intégrales.

Notes et références

Frederic, P. & Lad, F. (2008) Two Moments of the Logitnormal Distribution. Communications in Statistics-Simulation and Computation. 37: 1263-1269
Mead, « A Generalised Logit-Normal Distribution », Biometrics, vol. 21, n^o 3,‎ 1965, p. 721–732 (DOI 10.2307/2528553, JSTOR 2528553)