Loi de Davis

Loi de Davis
Paramètres	${\displaystyle b>0}$ paramètre d'échelle ${\displaystyle n>0}$ paramètre de forme ${\displaystyle \mu >0}$ Paramètre de position
Support	${\displaystyle x>\mu }$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {b^{n}{(x-\mu )}^{-1-n}}{\left[\exp \left({\frac {b}{x-\mu }}\right)-1\right]\Gamma (n)\zeta (n)}}}$ où ${\displaystyle \Gamma (n)}$ est la fonction Gamma et ${\displaystyle \zeta (n)}$ est la fonction zêta de Riemann
Espérance	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +{\frac {b\zeta (n-1)}{(n-1)\zeta (n)}}&{\text{si}}\ n>2\\{\text{indéterminé}}&{\text{sinon}}\ \end{cases}}}$
Variance	voir l'article
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En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Davis est une loi de probabilité continue. Son nom est issu de Harold T. Davis (1892–1974) qui introduisit[1] cette loi en 1941 comme modèle de revenus. Elle généralise la loi de Planck de radiation en physique statistique.

Définition

La densité de probabilité de la loi de Davis est donnée par

${\displaystyle f(x;\mu ,b,n)={\begin{cases}{\frac {b^{n}}{\Gamma (n)\zeta (n)}}{\frac {(x-\mu )^{-1-n}}{\exp \left({\frac {b}{x-\mu }}\right)-1}}&{\text{si}}\ n>3\\0&{\text{sinon.}}\ \end{cases}}}$

où Γ est la fonction gamma et ζ est la fonction zêta de Riemann. Ici μ, b et n sont les paramètres de la loi, n étant un entier.

Propriétés

La variance de la loi de Davis est :

${\displaystyle \mathrm {Var} (X)={\begin{cases}{\frac {b^{2}\left(-(n-2){\zeta (n-1)}^{2}+(n-1)\zeta (n-2)\zeta (n)\right)}{(n-2){(n-1)}^{2}{\zeta (n)}^{2}}}&{\text{si}}\ n>3\\{\text{indéterminé}}&{\text{sinon.}}\ \end{cases}}}$

Motivation

Afin de pouvoir donner une expression qui représente plus précisément la traine de la loi des revenus, Davis utilisa un modèle approprié avec les propriétés suivantes[2] :

• il existe ${\displaystyle \mu >0\,}$ tel que, ${\displaystyle f(\mu )=0}$,
• il y a un modèle de revenus,
• pour x grand, le densité se comporte comme la distribution de Pareto :

${\displaystyle f(x)\sim A{(x-\mu )}^{-\alpha -1}\,.}$

Liens avec d'autres lois

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Davis} (b=1,n=4,\mu =0)\,}$ alors ${\displaystyle {\tfrac {1}{X}}\sim \mathrm {Planck} }$ (loi de Planck)

Références

1. The Theory of Econometrics and Analysis of Economic Time Series
2. Christian Kleiber, Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley Series in Probability and Statistics, 2003, 352 p. (ISBN 978-0-471-15064-0)

• Davis, H. T. (1941). The Analysis of Economic Time Series. The Principia Press, Bloomington, Indiana Download book
• VICTORIA-FESER, Maria-Pia. (1993) Robust methods for personal income distribution models. Thèse de doctorat : Univ. Genève, 1993, no. SES 384 (p. 178)