Lemme de Poincaré — Toute forme différentielle fermée est localement exacte.
Plus précisément, pour toute forme fermée définie sur un ouvertU de M contenant x, il existe un voisinage de x contenu dans U sur lequel la restriction de la forme est exacte.
En effet, si M ⊂ ℝn est un ouvert étoilé, ou un ouvert difféomorphe à un ouvert étoilé, un calcul montre que toute forme fermée est exacte. Maintenant si M est quelconque, tout point admet un voisinage difféomorphe à une boule et on est ramené au cas précédent.
Théorie globale
Un lemme de Poincaré global n'existe pas. Par exemple, sur le plan ℝ2 privé de l'origine, la forme
est fermée, mais non exacte.
Dans le cas général, le p-ième groupe de cohomologie de De Rham mesure l'obstruction pour une forme fermée à être exacte.
Notations
Pour tout entier naturel p, on note :
l'espace des p-formes fermées.
l'espace des p-formes exactes.
Comme , on a , donc :
l'espace des formes exactes est un sous-espace des formes fermées.
c'est-à-dire l'espace des p-formes fermées modulo le sous-espace des p-formes exactes.
Hp(M) = 0 si p < 0 ou si p est strictement supérieur à la dimension de M.
Si M est compacte, chaque Hp(M) est de dimension finie[3].
La dimension de Hp(M) s'appelle le p-ième nombre de Betti (réel), noté bp(M).
Toute application différentiablef : M → N entre deux variétés induit un morphisme d'algèbres différentielles graduées Ω(f) : Ω*(N) → Ω*(M) donc un morphisme d'algèbres graduées f* : H*(N) → H*(M). On vérifie facilement que H* est un foncteur (contravariant).
Invariance par homotopie
Si deux applications différentiables f, g : M → N sont homotopes, elles le sont différentiablement[4]. On parvient alors à construire[5],[6],[7] un opérateur L : Ω(N) → Ω(M) de degré –1 tel que Ω(g) – Ω(f) = d∘L + L∘d, ce qui prouve que g* = f*.
Toute application continue de M dans N est homotope à une application différentiable[8],[9]. Elle détermine donc encore un morphisme de H*(N) dans H*(M)[10].
Si M est une variété lisse compacte connexe et orientable de dimension n, alors Hn(M) est de dimension 1. Un isomorphisme explicite est donné par l'intégration des formes différentielles
de degré maximum : une orientation de M étant donnée, l'application
de dans R est nulle sur les formes exactes d'après le théorème de Stokes. Elle passe donc au quotient en une application de Hn(M) dans R, et l'on démontre[11] qu'on obtient ainsi un isomorphisme.
Si M n'est pas orientable ou n'est pas compacte (les autres hypothèses restant les mêmes), Hn(M) = 0.
Hk(Sn) = 0 pour 0 < k < n.
Théorème de Hodge-de Rham
Un élément de Hp(M) est une classe d'équivalence de formes différentielles de degré p,
qui n'admet pas a priori de représentant privilégié. La situation change si
M est munie d'une métrique riemannienneg.
On peut alors définir un opérateur de divergence
Le théorème de Hodge-de Rham[12] assure que si M est compacte est
isomorphe à Hp(M).
Exemples
Si G est un groupe de Lie compact muni d'une métrique riemannienne bi-invariante, les formes harmoniques sont les formes différentielles bi-invariantes. En particulier, .
Soit S une surface de Riemann compacte. La donnée de la structure complexe équivaut à celle d'une classe de métriques riemanniennes conformes, et les formes harmoniques de degré 1 ne dépendent que de la structure conforme. Ce sont les parties réelles des formes différentielles holomorphes de degré 1. Ainsi où est le genre de S.
↑Henri Cartan, « Les travaux de Georges de Rham sur les variétés différentiables », dans Œuvres - Collected Works, vol. III, Springer, (ISBN978-3-54009189-9, lire en ligne), p. 1448-1458, « 1. Le théorème de De Rham ».
↑Godbillon, p. 164-165 (th. 2.5) : L = K∘Ω(H), où H : M×ℝ → N est une homotopie différentiable de f à g et K : Ωp(M×ℝ) → Ωp-1(M) est l'intégration de 0 à 1 le long des fibres de la projection M×ℝ → M.
↑(en) Ieke Moerdijk et Gonzalo E. Reyes, Models for Smooth Infinitesimal Analysis, Springer, (lire en ligne), p. 168.