En mathématiques , et plus particulièrement en topologie algébrique , le cap-produit est une opération binaire qui permet d'assembler des chaînes et des cochaînes. Elle a été introduite par Eduard Čech en 1936 et indépendamment par Hassler Whitney en 1938.
Définition
Soit X un espace topologique et A un anneau . Le cap-produit est une application bilinéaire définie sur les chaines et les cochaines singulières
⌢ ⌢ -->
:
C
p
(
X
;
A
)
× × -->
C
q
(
X
;
A
)
→ → -->
C
p
− − -->
q
(
X
;
A
)
{\displaystyle \frown \;:C_{p}(X;A)\times C^{q}(X;A)\rightarrow C_{p-q}(X;A)}
en posant
σ σ -->
⌢ ⌢ -->
ψ ψ -->
=
ψ ψ -->
(
σ σ -->
|
[
v
0
,
… … -->
,
v
q
]
)
σ σ -->
|
[
v
q
,
… … -->
,
v
p
]
,
{\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]},}
avec
σ σ -->
:
Δ Δ -->
p
→ → -->
X
{\displaystyle \sigma :\Delta ^{p}\rightarrow X}
et
ψ ψ -->
∈ ∈ -->
C
q
(
X
;
A
)
{\displaystyle \psi \in C^{q}(X;A)}
et où
σ σ -->
|
[
v
0
,
… … -->
,
v
q
]
{\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}
est la restriction de l'application simpliciale
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
à la face engendrée par les vecteurs
v
0
,
… … -->
,
v
q
{\displaystyle v_{0},\ldots ,v_{q}}
.
Propriétés
On a la formule
∂ ∂ -->
(
σ σ -->
⌢ ⌢ -->
ψ ψ -->
)
=
(
− − -->
1
)
q
(
∂ ∂ -->
σ σ -->
⌢ ⌢ -->
ψ ψ -->
− − -->
σ σ -->
⌢ ⌢ -->
δ δ -->
ψ ψ -->
)
{\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi )}
.
Elle implique que le cap-produit d'un cycle avec un cocycle est un cycle ; le cap-produit d'un cycle et d'un cobord est un bord ; et le cap-produit d'un bord et d'un cocycle est un bord.
Ceci permet de définir un cap-produit en homologie et cohomologie :
⌢ ⌢ -->
:
H
p
(
X
;
A
)
× × -->
H
q
(
X
;
A
)
→ → -->
H
p
− − -->
q
(
X
;
A
)
.
{\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;A)\times H^{q}(X;A)\rightarrow H_{p-q}(X;A).}
Le cap-produit et le cup-produit sont reliés par la relation
ψ ψ -->
(
σ σ -->
⌢ ⌢ -->
φ φ -->
)
=
(
φ φ -->
⌣ ⌣ -->
ψ ψ -->
)
(
σ σ -->
)
{\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}
où
σ σ -->
:
Δ Δ -->
p
+
q
→ → -->
X
{\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X}
,
ψ ψ -->
∈ ∈ -->
C
q
(
X
;
A
)
et
φ φ -->
∈ ∈ -->
C
p
(
X
;
A
)
.
{\displaystyle \psi \in C^{q}(X;A){\text{ et }}\varphi \in C^{p}(X;A).}
Dualité de Poincaré
Référence
(en) Allen Hatcher , Algebraic Topology , New York, CUP , 2001 , xii+544 (ISBN 978-0-521-79540-1 , lire en ligne ) , p. 239-241
Conjectures
Axiomatisations
Théories homologiques et cohomologiques
Outils
Dualités