Algèbre d'Albert

En mathématiques, une algèbre d'Albert est une algèbre de Jordan exceptionnelle de dimension 27. Elle porte le nom d'A. Adrian Albert, pionnier de l'étude des algèbres non associatives, qui travaillait le plus souvent sur le corps des nombres réels. Sur les nombres réels, il existe trois telles algèbres de Jordan à isomorphisme près[1]. L'une d'elles, mentionnée pour la première fois par Pascual Jordan, John von Neumann et Eugene Wigner[2] et étudiée par A. Adrian Albert[3], est l'ensemble des matrices 3×3 autoadjointes sur les octonions, muni du produit

${\displaystyle x\circ y={\frac {1}{2}}(x\cdot y+y\cdot x),}$

où ${\displaystyle \cdot }$ désigne le produit matriciel habituel. Une autre est définie de la même manière, mais en utilisant les octonions déployés au lieu des octonions. La dernière est construite à partir des octonions non déployés en utilisant une involution standard différente.

Sur un corps algébriquement clos, il n'y a qu'une seule algèbre d'Albert et son groupe d'automorphismes G est le groupe simple déployé de type F₄[4],[5]. Par exemple, les complexifications (en) des trois algèbres d'Albert sur les nombres réels sont des algèbres d'Albert isomorphes sur les nombres complexes. Plus généralement, pour un corps quelconque F, les algèbres d'Albert sont classées par le groupe cohomologie galoisienne H^1(F, G)[6].

La construction de Kantor-Koecher-Tits appliquée à une algèbre d'Albert donne une forme de l'algèbre de Lie E₇. L'algèbre d'Albert déployée est utilisée dans la construction d'une algèbre structurable de dimension 56 dont le groupe d'automorphismes a pour composante neutre le groupe algébrique simplement connexe de type E₆[7].

L'espace des invariants cohomologiques des algèbres d'Albert sur un corps F (de caractéristique différente de 2) à coefficients dans Z/2Z est un module libre sur l'anneau de cohomologie de F de base 1, f₃, f₅, de degrés respectifs 0, 3, 5[8]. L'espace des invariants cohomologiques à coefficients de 3-torsion est libre de rang 2, engendré par deux éléments 1 et g₃ de degrés respectifs 0 et 3[9]. Les invariants f₃ et g₃ sont les principales composantes de l'invariant de Rost (en).

Voir aussi

Articles connexes

• Algèbre de Jordan euclidienne pour les algèbres de Jordan considérées par Jordan, von Neumann et Wigner
• Algèbre de Hurwitz euclidienne pour les détails de la construction de l'algèbre d'Albert pour les octonions
• Identité de Glennie : un polynôme de Jordan identiquement nul sur toute algèbre de Jordan spéciale (provenant d'une algèbre associative) mais pas sur les algèbres d'Albert
• Algèbre de Jordan
• Algèbre non associative (en)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Albert algebra » (voir la liste des auteurs).

1. Springer et Veldkamp 2000, 5.8, p. 153.
2. Jordan, von Neumann et Wigner 1934.
3. Albert 1934.
4. Springer et Veldkamp 2000, 7.2.
5. Claude Chevalley et R. D. Schafer, « The exceptional simple Lie algebras F(4) and E(6) », Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., vol. 36, n^o 2,‎ février 1950, p. 137-41 (PMID 16588959, PMCID 1063148, DOI 10.1073/pnas.36.2.137, Bibcode 1950PNAS...36..137C)
6. Knus et al. 1998, p. 517.
7. Skip Garibaldi, « Structurable Algebras and Groups of Type E₆ and E₇ », Journal of Algebra, vol. 236, n^o 2,‎ 2001, p. 651-691 (DOI 10.1006/jabr.2000.8514, arXiv math/9811035)
8. Garibaldi, Merkurjev et Serre 2003, p. 50.
9. Garibaldi 2009, p. 20.

Bibliographie

• A. Adrian Albert, « On a Certain Algebra of Quantum Mechanics », Annals of Mathematics, 2^e série, vol. 35, n^o 1,‎ 1934, p. 65-73 (ISSN 0003-486X, DOI 10.2307/1968118, JSTOR 1968118)
• Skip Garibaldi, Alexander Merkurjev et Jean-Pierre Serre, Cohomological invariants in Galois cohomology, vol. 28, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « University Lecture Series », 2003 (ISBN 978-0-8218-3287-5, MR 1999383)
• Skip Garibaldi, Cohomological invariants: exceptional groups and Spin groups, vol. 200, American Mathematical Society, coll. « Memoirs of the American Mathematical Society », 2009 (ISBN 978-0-8218-4404-5, DOI 10.1090/memo/0937), chap. 937
• Pascual Jordan, John von Neumann et Eugene Wigner, « On an Algebraic Generalization of the Quantum Mechanical Formalism », Annals of Mathematics, vol. 35, n^o 1,‎ 1934, p. 29-64 (DOI 10.2307/1968117, JSTOR 1968117)
• Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Markus Rost et Jean-Pierre Tignol (préf. Jacques Tits), The book of involutions, vol. 44, Providence, RI, American Mathematical Society, coll. « Colloquium Publications », 1998 (ISBN 978-0-8218-0904-4, zbMATH 0955.16001)
• Kevin McCrimmon, A taste of Jordan algebras, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Universitext », 2004 (ISBN 978-0-387-95447-9, DOI 10.1007/b97489, MR 2014924, lire en ligne)
• Tonny A. Springer et Ferdinand D. Veldkamp, Octonions, Jordan algebras and exceptional groups, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2000 (1^re éd. 1963) (ISBN 978-3-540-66337-9, MR 1763974, lire en ligne)

Bibliographie complémentaire

• Holger P. Petersson et Michel L. Racine, « Albert algebras », dans Wilhelm Kaup, Jordan algebras. Proceedings of the conference held in Oberwolfach, Germany, August 9-15, 1992, Berlin, de Gruyter, 1994, 197-207 p. (zbMATH 0810.17021)
• Holger P. Petersson, « Structure theorems for Jordan algebras of degree three over fields of arbitrary characteristic », Communications in Algebra, vol. 32, n^o 3,‎ 2004, p. 1019-1049 (DOI 10.1081/AGB-120027965, S2CID 34280968, CiteSeer^x 10.1.1.496.2136)
• (en) « Albert algebra », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)