Identité de Glennie

En mathématiques, l'identité de Glennie est une identité spéciale pour les algèbres de Jordan : cela signifie qu'elle est satisfaite dans les algèbres de Jordan spéciales mais pas dans toutes les algèbres de Jordan. Plus précisément, une identité de Jordan est un polynôme de Jordan[1] qui s'annule dans toutes les algèbres de Jordan spéciales mais pas dans toutes les algèbres de Jordan. Le polynôme qui est maintenant connu sous le nom d'identité de Glennie, mis en évidence par Charles M. Glennie, est apparu pour la première fois dans sa thèse de doctorat à l'université Yale en 1963, dirigée par Nathan Jacobson[2].

Définition formelle

Soit • le produit dans une algèbre de Jordan spéciale A. Pour tous X, Y, Z dans A, on définit leur produit triple de Jordan par

{X, Y, Z} = X•(Y•Z) − Y•(Z•X) + Z•(X•Y).

Alors l'identité suivante, appelée identité de Glennie et souvent notée G₈, est satisfaite[3] :

2{{Z, {X,Y,X}, Z}, Y, Z•X} – {Z, {X, {Y,X•Z,Y}, X}, Z} = 2{X•Z, Y, {X, {Z,Y,Z}, X}} – {X, {Z, {Y,X•Z,Y}, Z}, X}.

Il est facile de trouver des éléments X, Y et Z dans les algèbres d'Albert pour lesquels cette égalité est fausse.

Articles connexes

• Algèbre de Jordan
• Algèbre d'Albert
• Algèbre non associative (en)

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Glennie's identity » (voir la liste des auteurs).

1. Dans ce contexte, un polynôme de Jordan est un opérateur polynomial sur une algèbre de Jordan. Les algèbres de Jordan sont nommées d'après le physicien allemant Pascual Jordan et pas l'algébriste français Camille Jordan, célèbre pour la réduction de Jordan. Le terme polynôme de Jordan a un sens différent dans le cadre de la réduction de Jordan.
2. (en) « Charles M. Glennie », sur le site du Mathematics Genealogy Project
3. C. M. Glennie, « Some identities valid in special Jordan algebras but not in all Jordan algebras », Pacific J. Math., vol. 16,‎ 1966, p. 47-59 (DOI 10.2140/pjm.1966.16.47, lire en ligne).