La curva roja es una epicicloide trazada a medida que el pequeño círculo (radio r = 1) gira sobre la circunferencia de un círculo mayor (radio R = 3). La epicicloide es la curva generada por la trayectoria de un punto perteneciente a una circunferencia (generatriz ) que rueda, sin deslizamiento, por el exterior de otra circunferencia (directriz ). Es un tipo de ruleta cicloidal .
Considerando la figura podemos escribir:
(1
x
=
(
r
1
+
r
2
)
s
e
n
α
−
r
2
c
o
s
γ
{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \gamma }
(2
y
=
(
r
1
+
r
2
)
c
o
s
α
+
r
2
s
e
n
γ
{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ +r_{2}\ \mathrm {sen} \gamma }
con
γ
=
α
+
β
−
π
/
2
{\displaystyle \gamma =\alpha +\beta -\pi /2}
r
1
α
=
l
1
=
l
2
=
r
2
β
{\displaystyle r_{1}\ \alpha =l_{1}=l_{2}=r_{2}\ \beta }
β
=
r
1
r
2
α
{\displaystyle \beta ={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\alpha }
Sustituyendo β y γ en las ecuaciones [1] y [2] tenemos la ecuación paramétrica de la epicicloide:
x
=
(
r
1
+
r
2
)
s
e
n
α
−
r
2
s
e
n
[
α
(
1
+
r
1
r
2
)
]
{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}
y
=
(
r
1
+
r
2
)
c
o
s
α
−
r
2
c
o
s
[
α
(
1
+
r
1
r
2
)
]
{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}
Casos particulares
Cuando
r
1
r
2
{\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}}
k
=
r
1
r
2
=
p
q
{\displaystyle k={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {p}{q}}}
p y q números enteros, las epicicloides son curvas algebraicas.
Cuando r1 =r2 , i.e,
k
=
1
{\displaystyle k=1}
cardioide .
Cuando r1 =2r2 , i.e,
k
=
2
{\displaystyle k=2}
nefroide .
Ejemplos
ejemplos de epicicloides
k=1
k=2
k=3
k=4
k=2,1=21/10
k=3,8=19/5
k=5,5=11/2
k=7,2=36/5
Curva cíclica
La directriz es una recta
d = r
d < r
d > r
cicloide
trocoide
cicloide normal
cicloide acortada
cicloide alargada
La directriz es una circunferencia
d = r
d < r
d > r
La generatriz es exterior a al directriz
epicicloide
epitrocoide
epicicloide normal
epicicloide acortada
epicicloide alargada
La generatriz es interior a al directriz
hipocicloide
hipotrocoide
hipocicloide normal
hipocicloide acortada
hipocicloide alargada
La directriz es interior a al generatriz
pericicloide
peritrocoide
pericicloide normal
pericicloide acortada
pericicloide alargada
Referencias en la Web
![{\displaystyle x=(r_{1}+r_{2})\mathrm {sen} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {sen} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6d0bed1bd95d4ee5c956284ba37cc2e8d8fb02)
![{\displaystyle y=(r_{1}+r_{2})\mathrm {cos} \ \alpha \ -r_{2}\ \mathrm {cos} \ [\alpha (1+{\frac {r_{1}}{r_{2}}})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8a67565146b263f6ecf1c3e9e7152586f9fd441)
