Una hipotrocoide, en geometría, es la curva plana que describe un punto vinculado a una circunferenciageneratriz que rueda dentro de una circunferencia directriz, tangencialmente, sin deslizamiento.
La palabra se compone de las raíces griegas hipohupo (abajo) y trokos (rueda).
Siendo (donde ) y , con circunferencia directriz de radio a, y circunferencia generatriz de radio a, y la distancia al centro de la generatriz d, la ecuación de la hipotrocoide es:
pero x no es igual a A
donde:
Por identificación de las partes reales e imaginarias se obtiene:
donde:
y .
Sabiendo que , y , obtenemos las ecuaciones siguientes:
el ángulo varía de 0 a 2π.
Las elipses son casos particulares de hipotrocoide, donde .
Las hipocicloides son casos particulares, donde (el punto fijo de la generatriz)
Hipotrocoide alargada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 1,5).
Hipotrocoide acortada (en trazo rojo), circunferencia directriz (en trazo azul), circunferencia generatriz (en trazo negro). Parámetros: R = 3, r = 1, d = 0,5.
Aplicaciones
Los espirografos (son juguetes para dibujar) crean hipotrocoides.
Las hipotrocoides definen el soporte de los autovalores de matrices aleatorias con correlaciones cíclicas.[1]
![{\displaystyle qz=a[(q-1)e^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942e5f857f3e0b3719fc95938efdc3d3075f535b)
![{\displaystyle q(x+iy)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90f7a6424d4c241c23750a3a7c1a94798af9bec6)
![{\displaystyle qx=a(q-1)\cos(t)+ka\cos[(q-1)t)];\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ab2e71075ed4d27afffc90f6f1a06751c164f13)
![{\displaystyle qy=a(q-1)\sin(t)-ka\sin[(q-1)t)];\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7ee6add28412287408320b33d873c7064a1880)
