دوال زائدية

دالة زائدية
معلومات عامة
صنف فرعي من
خوارزمية التقريب
mathematical inverse
لديه جزء أو أجزاء
شعاع مار بنقطة الأصل ويقطع القطع الزائد في النقاط , حيث تكون المساحة بين الشعاع، وانعكاسه بالنسبة للمحور ، والقطع الزائد
صورة متحركة للدوال المثلثية (الدائرية) والدوال الزائدية. باللون الأحمر، منحنى معادلته x² + y² = 1 (دائرة الوحدة)، وبالأزرق x² - y² = 1 (القطع الزائد)، مع النقاط (cos(θ),sin(θ)) و (1,tan(θ)) باللون الأحمر و (cosh(θ),sinh(θ)) و (1,tanh(θ)) باللون الأزرق.
تمثيل الدوال الزائدية على القطع الزائد الذي معادلته x²-y²=1

الدوال الزائدية أو الدوال الزائدة أو الدوال الهُذْلولية [1] (بالإنجليزية: Hyperbolic functions)‏ في الرياضيات هي تلك الدوال المماثلة للدوال المثلثية (أو الدائرية)، لكنها معرفة بواسطة القطع الزائد بدلاً من الدائرة: تمامًا كما تشكل النقاط (cos t , sin t) دائرة ذات نصف قطر يساوي الواحد، تشكل النقاط (cosh t , sinh t) النصف الأيمن من القطع الزائد.[2][3][4]

تظهر الدوال الزائدية في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (على سبيل المثال، المعادلة التي تحدد سلسلي)، وبعض المعادلات التكعيبية، في حسابات الزوايا والمسافات في الهندسة الزائدية، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية.  تعتبر معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية، ونقل الحرارة، وجريان الموائع، والنسبية الخاصة.

تشكل الدوال الآتية الأساس في الدوال الزائدية:

والدوال المشتقة منهما هن:

  • الظل الزائدي ويُرمز لها بـ tanh أو th
  • ظل التمام الزائدي ويُرمز لها بـ coth
  • القاطع الزائدي ويُرمز لها بـ sech
  • قاطع التمام الزائدي ويُرمز لها بـ csch

كما يوجد لهذه الدوال معكوس كما في المثلثية:

تأخذ الدوال الزائدية مدخل حقيقي يسمى الزاوية الزائدية. مقدار الزاوية الزائدية ضعف مساحة قطاعها الزائدي. يمكن تعريف الدوال الزائدية بدلالة ساقي المثلث القائم الذي يغطي هذا القطاع.

في التحليل المركب، تنشأ الدوال الزائدية كأجزاء تخيلية لدالتي الجيب وجيب التمام. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي دوال كاملة. ونتيجة لذلك، فإن الدوال الزائدية الأخرى دوال جزئية الشكل في المستوي المركب بأكمله.

حسب مبرهنة ليندمان-فايرشتراس، للدوال الزائدية قيمة متسامية لكل قيمة جبرية غير صفرية للمدخل.[5]

أُدخلت الدوال الزائدية في ستينيات القرن الثامن عشر بشكل مستقل من قبل فينتشنزو ريكاتي ويوهان هاينغيش لامبرت.[6] استخدم ريكاتي الترميزات: Sc. و Cc. (sinus/cosinus circulare) للإشارة إلى الدوال الدائرية (المثلثية) و Sh. و Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) للإشارة إلى الدوال الزائدية. اعتمد لامبرت الأسماء لكنه غير الاختصارات إلى تلك المستخدمة اليوم.[7] تستخدم حاليًا الاختصارات sh و ch و th و cth بناءً على التفضيل الشخصي.

سبب التسمية

تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا. كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد. تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.

تعريفات

هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية.

بدلالة الدوال الأسية

sinh, cosh و tanh
csch, sech و coth

الدوال الزائدية هي:

  • الجيب الزائدي:
  • جيب التمام الزائدي:
  • الظل الزائدي:
  • ظل التمام الزائدي:
  • القاطع الزائدي:
  • قاطع التمام الزائدي:

يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر. لاحظ أنه من التعريف, تعني , ليس ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.

بواسطة المعادلات الفاضلية

يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:

بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1.

وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x), بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي.

الظل الزائدي هو حل لمعادلة غير خطية لمسألة القيمة الحدية:

بواسطة الدوال المثلثية لعدد مركب

يمكن استنتاج الدوال الزائدية من الدوال المثلثية لعدد مركب:

  • الجيب الزائدي:
  • جيب التمام الزائدي:
  • الظل الزائدي:
  • ظل التمام الزائدي:
  • القاطع الزائدي:
  • قاطع التمام الزائدي:

حيث i وحدة تخيلية معرفة بأنها i2 = −1.

ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر.

تعريف بواسطة التكامل

يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:[8]

متطابقات

في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي.

الدوال الزوجية والفردية:

ومنهم:

وبالتالي، cosh x و sech x هي دوال زوجية؛ بينما الدوال الأخرى هي دوال فردية.

تلبي دالتا جيب وجيب التمام الزائديان:

تشبه الأخيرة متطابقة فيثاغورس المثلثية.

لدينا أيضا:

بالنسبة إلى الدوال الأخرى.

صيغ الجمع

لدينا أيضا:

صيغ ضعف الزاوية

صيغ الطرح

أيضا:

صيغ نصف الزاوية

حيث sgn هي دالة الإشارة.

إذا كان x ≠ 0، فإن:

الدوال العكسية في صور لوغاريتمية

المشتقات

تكاملات قياسية

في التعابير السابقة، يدعى C بثابت التكامل.

تعابير متسلسلات تايلور

من الممكن نشر التعابير السابقة في صورة متسلسلة تايلور:

(متسلسلة لوران)
(متسلسلة لوران)

حيث

هي عدد بيرنولي رقم n
هي عدد أويلر رقم n

المقارنة مع الدوال المثلثية

القطاع الدائري (بالأصفر) والقطاع الزائدي (الشكل الأحمر + الشكل الأصفر). الدائرة والقطع الزائد الذي يمسها عند (1,1) يعرضان هندسة الدوال الدائرية بدلالة مساحة القطاع الدائري u والدوال الزائدية اعتمادًا على مساحة القطاع الزائدي u.

تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.

بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية.

يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية.

الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة إلى الدوران الزائدي [الإنجليزية]، تمامًا كما تكون الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران الدائري.

تعطي دالة غودرمان (تكامل دالة القاطع الزائدية والتي تساوي ) علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.

الرسم البياني للدالة cosh (x/a) هو عبارة عن سلسلي، وهو منحنى يتكون من سلسلة منتظمة ووقابلة للانثناء ومعلقة بِحُرية بين نقطتين ثابتتين تحت ثقل منتظم.

علاقاتها بالدوال الأسية

تحليل الدالة الأسية في أجزائها الزوجية والفردية يعطي المتطابقات التالية:

تشبه الأولى صيغة أويلر.

بالإضافة إلى

الدوال الزائدية للأعداد المركبة

لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل.

وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:

وعليه:

وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة ( بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين).

إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.

دوال زائدية في المستوى المركب

تطبيقات الدوال الزائدية

لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.

تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.

انظر أيضًا

مراجع

  1. ^ ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (1 يناير 2007). قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي. دار الكتب العلمية. ISBN:978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 2020-02-20.
  2. ^ Martin، George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (ط. 1., corr. Springer). New York: Springer-Verlag. ص. 416. ISBN:3-540-90694-0.
  3. ^ "math.stackexchange.com/q/1565753/88985". ستاك إكستشينج (mathematics). مؤرشف من الأصل في 2019-12-18. اطلع عليه بتاريخ 2016-01-24.
  4. ^ tanh نسخة محفوظة 31 أكتوبر 2017 على موقع واي باك مشين.
  5. ^ Niven، Ivan (1985). Irrational Numbers. Mathematical Association of America. ج. 11. ISBN:9780883850381. JSTOR:10.4169/j.ctt5hh8zn.
  6. ^ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
  7. ^ Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
  8. ^ N.P.، Bali (2005). Golden Integral Calculus. Firewall Media. ص. 472. ISBN:81-7008-169-6. مؤرشف من الأصل في 2013-06-22.

Read other articles:

Concert venue in San Francisco, United States Sigmund Stern Recreation GroveStern Groveimage of Sigmund Stern Recreation GroveLocationSan FranciscoCoordinates37°44′10″N 122°28′39″W / 37.7362°N 122.4776°W / 37.7362; -122.4776Area33 acresCreated1931 (1931)Operated bySF Recreation and Parks DepartmentStatusAlways openPublic transit access St. Francis Circle station Websitesfrecpark.org/Facilities/Facility/Details/Sigmund-Stern-Grove-375 Sigmund Stern Re…

Akitakata 安芸高田市KotaNegaraJepangWilayahChugokuPrefekturHiroshimaPemerintahan • Wali KotaKodama KotaroLuas • Total537,79 km2 (207,64 sq mi)Populasi • Total32,323 • Kepadatan60,1/km2 (156/sq mi)Lambang • PohonSakura • BungaHydrangeaZona waktuUTC+9 (JST)Situs webkota Akitakata Akitakata (安芸高田市; -shi) adalah sebuah kota yang terletak di bagian utara dari Prefektur Hiroshima, Jepang. Sejarah…

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。(このテンプレートの使い方)出典検索?: コルク – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL(2017年4月) コルクを打ち抜いて作った瓶の栓 コルク(木栓、蘭&…

Rúben Vezo Nazionalità  Portogallo Altezza 182[1] cm Peso 81[1] kg Calcio Ruolo Difensore Squadra  Olympiakos CarrieraGiovanili 2009-2013 Vitória SetúbalSquadre di club1 2013-2014 Vitória Setúbal12 (0)2014-2016 Valencia31 (1)2016-2017→  Granada18 (0)2017-2019 Valencia23 (0)2019-2024 Levante154 (3)[2]2024- Olympiakos0 (0)Nazionale 2013 Portogallo U-191 (0)2014 Portogallo U-205 (1)2014-2015 Portogallo U-215 (2) 1 I due nu…

土库曼斯坦总统土库曼斯坦国徽土库曼斯坦总统旗現任谢尔达尔·别尔德穆哈梅多夫自2022年3月19日官邸阿什哈巴德总统府(Oguzkhan Presidential Palace)機關所在地阿什哈巴德任命者直接选举任期7年,可连选连任首任萨帕尔穆拉特·尼亚佐夫设立1991年10月27日 土库曼斯坦土库曼斯坦政府与政治 国家政府 土库曼斯坦宪法 国旗 国徽 国歌 立法機關(英语:National Council of Turkmenistan) 土…

Aslan Pasha Mosqueτζαμί Ασλάν ΠασάReligionAffiliationIslamLocationShown within GreeceGeographic coordinates39°40′24.8″N 20°51′36.9″E / 39.673556°N 20.860250°E / 39.673556; 20.860250ArchitectureTypemosque The Aslan Pasha Mosque (Greek: Τζαμί Ασλάν Πασά, romanized: Tzamí Aslán Pasá) is an Ottoman-built mosque in the city of Ioannina, Greece. The mosque was built in 1618 in the city's castle,[1] replacing the Church of …

ヨハネス12世 第130代 ローマ教皇 教皇就任 955年12月16日教皇離任 964年5月14日先代 アガペトゥス2世次代 レオ8世個人情報出生 937年スポレート公国(中部イタリア)スポレート死去 964年5月14日 教皇領、ローマ原国籍 スポレート公国親 父アルベリーコ2世(スポレート公)、母アルダその他のヨハネステンプレートを表示 ヨハネス12世(Ioannes XII、937年 - 964年5月14日)は、ロー…

Election 1940 Wisconsin gubernatorial election ← 1938 November 5, 1940 1942 →   Nominee Julius P. Heil Orland Steen Loomis Francis E. McGovern Party Republican Progressive Democratic Popular vote 558,678 546,436 264,985 Percentage 40.67% 39.78% 19.29% County resultsHeil:      30–40%      40–50%      50–60%      60–70%Loomis:      30…

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Vodka (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento bevande alcoliche non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. VodkaUna bottiglia di vodka russaOriginiLuoghi d'origine Russia Polonia Diffusionemondiale DettagliCategoriabevanda …

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Les Précieuses ridicules – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2017) (Learn how and when to remove this message) Les Précieuses ridicules (French pronunciation: [le pʁesjøz ʁidikyl], The Absurd Précieuses or The Affected Ladies) is a…

Folly in WentworthKeppel's ColumnKeppel's ColumnTypeFollyLocationWentworthCoordinates53°26′53″N 1°24′55″W / 53.447931°N 1.415144°W / 53.447931; -1.415144OS grid referenceSK 38941 94731AreaSouth YorkshireBuilt1773-1780ArchitectJohn Carr Listed Building – Grade II*Official nameKeppels ColumnDesignated19 February 1986Reference no.1314632 Location of Keppel's Column in South Yorkshire Keppel's Column is a 115-foot (35 m)[1][2]&#…

Indian revolutionary (1907–1931) This article is about the Indian socialist revolutionary. For the Indian-American civil rights activist, see Bhagat Singh Thind. Bhagat SinghSingh in 1929Born(1907-09-28)28 September 1907[1]Banga, Punjab, British IndiaDied23 March 1931(1931-03-23) (aged 23)Lahore Central Jail, Punjab, British IndiaCause of deathExecution by hangingMonumentsHussainiwala National Martyrs MemorialOther namesShaheed-e-AzamOrganization(s)Naujawan Bharat SabhaH…

International organization founded in 1949 Not to be confused with European Council, the Council of the European Union or the European Political Community. Council of EuropeConseil de l'Europe Flag Logo HeadquartersPalace of Europe, Strasbourg, FranceOfficial languagesEnglish, French[1]TypeRegional intergovernmental organisationMembership46 member states5 Council observers3 Assembly observersLeaders• Secretary General Marija Pejčinović Burić• Deputy Secretary Genera…

American utility company Xcel redirects here. For the welding company, see Xcel-Arc. For other uses, see Excel. Xcel Energy Inc.1800 Larimer, Xcel Energy Regional Headquarters, in Denver, ColoradoCompany typePublicTraded asNasdaq: XELDJUA componentNasdaq-100 componentS&P 500 componentISINUS98389B1008IndustryUtilitiesPredecessorNew Century EnergiesFoundedJune 17, 1909; 114 years ago (1909-06-17) in Stillwater, Minnesota, U.S. (as Washington County Light & Power Comp…

Village in Louisiana, United StatesMorganza, LouisianaVillageVillage of MorganzaLocation of Morganza in Pointe Coupee Parish, Louisiana.Location of Louisiana in the United StatesCoordinates: 30°44′08″N 91°36′36″W / 30.73556°N 91.61000°W / 30.73556; -91.61000CountryUnited StatesStateLouisianaParishPointe CoupeeIncorporated1908Government • MayorClarence Woots Wells (D)[1]Area[2] • Total1.38 sq mi (3.58 km2)&…

Artikel ini mungkin terdampak dengan peristiwa terkini: Invasi Rusia ke Ukraina 2022. Informasi di halaman ini bisa berubah setiap saat. Republik GagauziaGagauziya Respublikası Bendera Lambang Semboyan: Gagauz Yeri(Indonesia: Gagauzia-Ku)Lagu kebangsaan: Tarafım(Indonesia: Tanah Airku)Lokasi GagauziaIbu kotaKomratBahasa resmiGagauzBahasa daerahyang diakui Rumania • Bulgaria • Ukraina • RusiaDemonimGagauzPemerintahanRepublik Presidensial• Presiden Irina Vlah Kemerdekaan…

Cet article est une ébauche concernant un métier et la mer. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) en vous référant au projet métiers. TimonierPrésentationForme féminine TimonnièreCodesROME (France) A1415,N3102,N3103modifier - modifier le code - modifier Wikidata Dans la marine militaire le timonier est le marin qui participe à la conduite nautique d'un bâtiment de guerre, directement ou indirectement. Dans la marine marchande, le timonier gouverne l…

卡平布兰库Capim Branco市镇卡平布兰库在巴西的位置坐标:19°32′56″S 44°07′01″W / 19.5489°S 44.1169°W / -19.5489; -44.1169国家巴西州米纳斯吉拉斯州面积 • 总计94.147 平方公里(36.350 平方英里)人口 • 總計8,763人 • 密度93.1人/平方公里(241人/平方英里) 卡平布兰库(葡萄牙语:Capim Branco)是巴西米纳斯吉拉斯州的一个市镇。总面积9…

2018年冬季奥林匹克运动会冰岛代表團冰岛国旗IOC編碼ISLNOC冰島國家奧林匹克及體育協會網站isi.is(英文)(冰岛语)2018年冬季奥林匹克运动会(平昌)2018年2月9日至2月25日運動員5參賽項目2个大项旗手开幕式:Freydís-Halla Einarsdóttir(高山滑雪)[1]闭幕式:Snorri Einarsson(越野滑雪)[2]历届奥林匹克运动会参赛记录(总结)夏季奥林匹克运动会19121920–19321936194819521956…

Village in Devon, England Human settlement in EnglandWalkhamptonWalkhampton churchWalkhamptonLocation within DevonPopulation863 (Census 2001)OS grid referenceSX533696DistrictWest DevonShire countyDevonRegionSouth WestCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townYelvertonPostcode districtPL20PoliceDevon and CornwallFireDevon and SomersetAmbulanceSouth Western UK ParliamentSouth West DevonWebsiteBurrator Parish Council List of places UK England Devon 50°3…