تأخذ الدوال الزائدية مدخل حقيقي يسمى الزاوية الزائدية. مقدار الزاوية الزائدية ضعف مساحة قطاعها الزائدي. يمكن تعريف الدوال الزائدية بدلالة ساقي المثلث القائم الذي يغطي هذا القطاع.
في التحليل المركب، تنشأ الدوال الزائدية كأجزاء تخيلية لدالتي الجيب وجيب التمام. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي دوال كاملة. ونتيجة لذلك، فإن الدوال الزائدية الأخرى دوال جزئية الشكل في المستوي المركب بأكمله.
أُدخلت الدوال الزائدية في ستينيات القرن الثامن عشر بشكل مستقل من قبل فينتشنزو ريكاتيويوهان هاينغيش لامبرت.[6] استخدم ريكاتي الترميزات: Sc. و Cc. (sinus/cosinus circulare) للإشارة إلى الدوال الدائرية (المثلثية) و Sh. و Ch. (sinus/cosinus hyperbolico) للإشارة إلى الدوال الزائدية. اعتمد لامبرت الأسماء لكنه غير الاختصارات إلى تلك المستخدمة اليوم.[7] تستخدم حاليًا الاختصارات sh و ch و th و cth بناءً على التفضيل الشخصي.
سبب التسمية
تعود تسميتها بالزائدية لأنها دوال مشتقة من دالة القطع الزائد ولأن لها خواص شبيهة جدا بالدوال المثلثية كما سيتبين لاحقا.
كما نعلم من الدائرة، تمثل النقاط دائرة الوحدة (نصف قطرها = 1)، بالمثل فإن النقاط تشكل النصف الأيمن من القطع الزائد.
تأخذ الدوال الزائدية قيما حقيقية إذا كانت وسائطها حقيقية الزاوية الزائدية. في التحليل المركب، هي ببساطة دوال نسبية أسية. تم تقديم هذه الدوال من قبل الرياضي السويسري جوهان هنرك لامبرت.
تعريفات
هناك طرق متكافئة مختلفة لتعريف الدوال الزائدية.
بدلالة الدوال الأسية
الدوال الزائدية هي:
الجيب الزائدي:
جيب التمام الزائدي:
الظل الزائدي:
ظل التمام الزائدي:
القاطع الزائدي:
قاطع التمام الزائدي:
يمكن وضع الدوال الزائدية بالصور المعقدة كما في صيغة أويلر.
لاحظ أنه من التعريف, تعني , ليس ; وبالمثل للدوال الزائدية الأخرى والأسات الموجبة.
بواسطة المعادلات الفاضلية
يمكن تعريف الدوال الزائدية حلولًا للمعادلات التفاضلية: دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان هما الحلان الوحيدتان (s, c) للجملة:
بحيث s(0) = 0 و c(0) = 1.
وهما أيضًا حلان وحيدان للمعادلة f ″(x) = f (x),
بحيث f (0) = 1, f ′(0) = 0 بالنسبة لجيب التمام الزائدي، و f (0) = 0, f ′(0) = 1 بالنسبة للجيب الزائدي.
ترتبط التعريفات المذكورة أعلاه بالتعريفات الأسية عبر صيغة أويلر.
تعريف بواسطة التكامل
يمكن إظهار أن مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى جيب التمام الزائدي خلال فترة محدودة تساوي دائمًا طول القوس المقابل لتلك الفترة:[8]
متطابقات
في الحقيقة يمكن التحويل بين المتطابقات المثلثية والمتطابقات الزائدية باستعمال قاعدة أوسبورن التي تنص على هذه الإمكانية عن طريق نشر المتطابقة كليا في حدود قوى تكاملات للجيب وجيب التمام، وبتغيير sin إلى sinh و cos إلى cosh، وتبديل الإشارة لكل حد يحوي مضروب من 2، 6، 10، 14،... جيب زائدي.
تمثل الدوال الزائدية امتدادًا لحساب المثلثات خارج الدوال الدائرية. كلا النوعين يعتمد على عُمدة، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية.
بما أن مساحة قطاع دائري له نصف قطر r وزاوية u تساوي r2u/2، ستكون مساويا لـu عندما يكون r = √2. في الرسم التخطيطي، تكون مثل هذه الدائرة مماسية للقطع الزائد الذي معادلته xy = 1 في (1,1). تمثل القطاع الأصفر والأحمر مساحة ومقدار زاوية. وبالمثل، فإن القطاعات الصفراء والحمراء معا تمثل مساحة ومقدار زاوية زائدية.
يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين التي تحتوي على الوتر على الشعاع المحدد للزوايا √2 مرة الدوال الدائرية والزائدية.
لما كانت الدالة الأسية قابلة للتعريف على أي عدد مركب يمكن توسيع التعاريف للوسائط المركبة. الدوال sinh z و cosh z هي إذن تامة الشكل.
وتعطى علاقاتها مع الدوال المثلثية بصيغة اويلر للأعداد المركبة:
وعليه:
وبالتالي، تعد الدوال الزائدية دوالاً دورية ذات دورة ( بالنسبة لدالتي الظل وظل التمام الزائديتين).
إن مقارنة هذه التمثيلات البيانية للدوال الزائدية المركبة (العقدية) الواردة أدناه مع تلك التمثيلات الخاصة بالدوال المثلثية توضح العلاقات بينهما.
دوال زائدية في المستوى المركب
تطبيقات الدوال الزائدية
لاتقل هذه الدوال شأنا عن الدوال المثلثية، إذ يمكن استخدامها في بعض مسائل التكامل كتعويض مناسب لإيجاد الحل، كما نشأت في بعض المعادلات التفاضلية الخطية كحل عام كما هو الحال في معادلة لابلاس في الإحداثيات الكارتيزية والتي أصبح لها تطبيقات عديدة في الفيزياء. في علم الميكانيكا أيضا كان حساب طول السلاسل المعلقة بشكل حر يجري بشكل متسلسلة قبل التوصل لهذه الدوال.
تنمذج محددات خطوط نقل الكهرباء بواسطة دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.
^Martin، George E. (1986). The foundations of geometry and the non-euclidean plane (ط. 1., corr. Springer). New York: Springer-Verlag. ص. 416. ISBN:3-540-90694-0.
^Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler at 300: an appreciation. Mathematical Association of America, 2007. Page 100.
^Georg F. Becker. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlviii.
Concert venue in San Francisco, United States Sigmund Stern Recreation GroveStern Groveimage of Sigmund Stern Recreation GroveLocationSan FranciscoCoordinates37°44′10″N 122°28′39″W / 37.7362°N 122.4776°W / 37.7362; -122.4776Area33 acresCreated1931 (1931)Operated bySF Recreation and Parks DepartmentStatusAlways openPublic transit access St. Francis Circle station Websitesfrecpark.org/Facilities/Facility/Details/Sigmund-Stern-Grove-375 Sigmund Stern Re…
Akitakata 安芸高田市KotaNegaraJepangWilayahChugokuPrefekturHiroshimaPemerintahan • Wali KotaKodama KotaroLuas • Total537,79 km2 (207,64 sq mi)Populasi • Total32,323 • Kepadatan60,1/km2 (156/sq mi)Lambang • PohonSakura • BungaHydrangeaZona waktuUTC+9 (JST)Situs webkota Akitakata Akitakata (安芸高田市; -shi) adalah sebuah kota yang terletak di bagian utara dari Prefektur Hiroshima, Jepang. Sejarah…
Aslan Pasha Mosqueτζαμί Ασλάν ΠασάReligionAffiliationIslamLocationShown within GreeceGeographic coordinates39°40′24.8″N 20°51′36.9″E / 39.673556°N 20.860250°E / 39.673556; 20.860250ArchitectureTypemosque The Aslan Pasha Mosque (Greek: Τζαμί Ασλάν Πασά, romanized: Tzamí Aslán Pasá) is an Ottoman-built mosque in the city of Ioannina, Greece. The mosque was built in 1618 in the city's castle,[1] replacing the Church of …
Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Vodka (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento bevande alcoliche non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti del progetto di riferimento. VodkaUna bottiglia di vodka russaOriginiLuoghi d'origine Russia Polonia Diffusionemondiale DettagliCategoriabevanda …
This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Les Précieuses ridicules – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (January 2017) (Learn how and when to remove this message) Les Précieuses ridicules (French pronunciation: [le pʁesjøz ʁidikyl], The Absurd Précieuses or The Affected Ladies) is a…
Indian revolutionary (1907–1931) This article is about the Indian socialist revolutionary. For the Indian-American civil rights activist, see Bhagat Singh Thind. Bhagat SinghSingh in 1929Born(1907-09-28)28 September 1907[1]Banga, Punjab, British IndiaDied23 March 1931(1931-03-23) (aged 23)Lahore Central Jail, Punjab, British IndiaCause of deathExecution by hangingMonumentsHussainiwala National Martyrs MemorialOther namesShaheed-e-AzamOrganization(s)Naujawan Bharat SabhaH…
International organization founded in 1949 Not to be confused with European Council, the Council of the European Union or the European Political Community. Council of EuropeConseil de l'Europe Flag Logo HeadquartersPalace of Europe, Strasbourg, FranceOfficial languagesEnglish, French[1]TypeRegional intergovernmental organisationMembership46 member states5 Council observers3 Assembly observersLeaders• Secretary General Marija Pejčinović Burić• Deputy Secretary Genera…
American utility company Xcel redirects here. For the welding company, see Xcel-Arc. For other uses, see Excel. Xcel Energy Inc.1800 Larimer, Xcel Energy Regional Headquarters, in Denver, ColoradoCompany typePublicTraded asNasdaq: XELDJUA componentNasdaq-100 componentS&P 500 componentISINUS98389B1008IndustryUtilitiesPredecessorNew Century EnergiesFoundedJune 17, 1909; 114 years ago (1909-06-17) in Stillwater, Minnesota, U.S. (as Washington County Light & Power Comp…
Village in Louisiana, United StatesMorganza, LouisianaVillageVillage of MorganzaLocation of Morganza in Pointe Coupee Parish, Louisiana.Location of Louisiana in the United StatesCoordinates: 30°44′08″N 91°36′36″W / 30.73556°N 91.61000°W / 30.73556; -91.61000CountryUnited StatesStateLouisianaParishPointe CoupeeIncorporated1908Government • MayorClarence Woots Wells (D)[1]Area[2] • Total1.38 sq mi (3.58 km2)&…
Artikel ini mungkin terdampak dengan peristiwa terkini: Invasi Rusia ke Ukraina 2022. Informasi di halaman ini bisa berubah setiap saat. Republik GagauziaGagauziya Respublikası Bendera Lambang Semboyan: Gagauz Yeri(Indonesia: Gagauzia-Ku)Lagu kebangsaan: Tarafım(Indonesia: Tanah Airku)Lokasi GagauziaIbu kotaKomratBahasa resmiGagauzBahasa daerahyang diakui Rumania • Bulgaria • Ukraina • RusiaDemonimGagauzPemerintahanRepublik Presidensial• Presiden Irina Vlah Kemerdekaan…
Cet article est une ébauche concernant un métier et la mer. Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) en vous référant au projet métiers. TimonierPrésentationForme féminine TimonnièreCodesROME (France) A1415,N3102,N3103modifier - modifier le code - modifier Wikidata Dans la marine militaire le timonier est le marin qui participe à la conduite nautique d'un bâtiment de guerre, directement ou indirectement. Dans la marine marchande, le timonier gouverne l…
Village in Devon, England Human settlement in EnglandWalkhamptonWalkhampton churchWalkhamptonLocation within DevonPopulation863 (Census 2001)OS grid referenceSX533696DistrictWest DevonShire countyDevonRegionSouth WestCountryEnglandSovereign stateUnited KingdomPost townYelvertonPostcode districtPL20PoliceDevon and CornwallFireDevon and SomersetAmbulanceSouth Western UK ParliamentSouth West DevonWebsiteBurrator Parish Council List of places UK England Devon 50°3…