Produk Tensor

artikel mengandung terlalu banyak istilah teknis. Tolong bantu mengembangkannya agar dapat dipahami oleh orang awam, tanpa harus menghilangkan aspek teknisnya. (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Dalam matematika, produk tensor adalah V ⊗ W dari dua ruang vektor V dan W (di atas bidang yang sama) adalah ruang vektor, diberkahi dengan operasi komposisi bilinear, dilambangkan dengan ⊗, dari pasangan terurut di produk Kartesius V × W ke V ⊗ W dengan cara yang menggeneralisasi produk luar.

Pada dasarnya perbedaan antara hasil kali tensor dua vektor dan pasangan vektor terurut adalah bahwa jika satu vektor dikalikan dengan skalar bukan nol dan yang lainnya dikalikan dengan kebalikannya, hasilnya adalah pasangan vektor terurut yang berbeda, tetapi hasil kali tensor yang sama dari dua vektor, dan pasangan vektor ditambahkan satu koordinat pada satu waktu (dengan koordinat lain tetap sama) daripada kedua koordinat pada saat yang sama, semua seperti yang diharapkan jika vektor "dikalikan langsung" dalam arti tertentu, produk tensor membuat ide ini tepat.

Produk tensor dari V dan W adalah ruang vektor yang dihasilkan oleh simbol v ⊗ w, dengan v ∈ V dan w ∈ W, di mana hubungan bilinearitas diterapkan untuk operasi produk ⊗, dan tidak ada hubungan lain yang dianggap berlaku. Dengan demikian, ruang hasil kali tensor adalahpaling bebas" (atau paling umum) ruang vektor tersebut, dalam arti memiliki kendala paling sedikit.

Hasil kali tensor ruang vektor (berdimensi-hingga) memiliki dimensi yang sama dengan hasil kali dimensi kedua faktor:

${\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\times \dim W.}$

Secara khusus, ini membedakan hasil kali tensor dari ruang vektor jumlah langsung, yang dimensinya adalah jumlah dari dimensi kedua penjumlahan.:

${\displaystyle \dim(V\oplus W)=\dim V+\dim W.}$

Lebih umum lagi, produk tensor dapat diperluas ke kategori objek matematika selain ruang vektor, seperti matriks, tensor, aljabar, spasi vektor topologi, dan modul. Dalam setiap kasus, produk tensor dicirikan oleh sifat universal yang serupa: it is the freest operasi bilinear. Konsep umum dari "produk tensor" ditangkap oleh kategori monoid; itu adalah, kelas segala sesuatu yang memiliki produk tensor adalah kategori monoid.

Motivasi intuitif untuk produk tensor bergantung pada konsep tensor secara lebih umum. Secara khusus, tensor adalah objek yang dapat dianggap sebagai tipe khusus peta multilinear, yang mengambil sejumlah vektor ( urutannya ) dan mengeluarkan skalar. Objek seperti itu berguna di sejumlah area aplikasi, seperti geometri Riemannian, terkenal karena penggunaannya dalam teori relativitas umum teori relativitas umum fisika modern metrik tensor oleh Albert Einstein adalah konsep fundamental. Secara khusus, tensor metrik mengambil dua vektor, yang dipahami secara kasar sebagai panah kecil yang berasal dari titik tertentu dalam ruang melengkung, atau manifold, dan mengembalikan lokal produk titik dari mereka relatif terhadap titik tertentu — operasi yang menyandikan beberapa informasi tentang vektor' panjang serta sudut di antara keduanya. Karena produk titik adalah skalar, tensor metrik dianggap layak untuk namanya. Ada satu tensor metrik di setiap titik manifold, dan variasi dalam tensor metrik tersebut mengkodekan bagaimana konsep jarak dan sudut, sehingga hukum geometri analitik, bervariasi di seluruh manifold.

Kita dapat membayangkan perkalian tensor dari dua ruang vektor, ${\displaystyle V}$ dan ${\displaystyle W}$, mewakili himpunan semua tensor yang mengambil vektor dari ${\displaystyle V}$ dan vektor dari ${\displaystyle W}$ dan mengeluarkan skalar dalam bidang dasarnya yang sama (dan dengan demikian hanya dapat ditentukan jika mereka memiliki bidang dasar yang sama). Kedua ruang itu mungkin sama di atas, mereka adalah vektor di "ruang tangen" pada suatu titik: kira-kira ruang datar sepotong kecil manifold "terlihat seperti" di dekat titik tertentu, dan dengan demikian tensor metrik hidup dalam produk tensor ruang itu dengan sendirinya. Namun kedua ruang tersebut mungkin juga berbeda.

Jika kita memiliki basis untuk masing-masing ruang vektor, dan ruang vektor berdimensi-hingga, kita dapat merepresentasikan vektor dalam komponen di bawah vektor basis tersebut

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}},\ \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{m}\end{bmatrix}}.}$

di mana setiap vektor kolom mewakili komponen dalam basis tertentu, yaitu ${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}}$ (dan juga untuk ${\displaystyle \mathbf {w} }$).

Tensor kemudian menjadi peta ${\displaystyle T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ yang berfungsi seperti di atas, mengembalikan skalar dan linier di kedua argumennya. Tensor seperti itu dapat direpresentasikan menggunakan perkalian matriks:

${\displaystyle T(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {T} \mathbf {w} }$

dimana superskripnya ${\displaystyle {\mathsf {T}}}$ menunjukkan transposisi matriks, yang mengirimkan vektor ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ke vektor ganda.

Diberikan dua vektor, kita dapat membentuk tensornya sendiri dari mereka secara alami menggunakan produk luar, yang dilambangkan ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$ dan sama ${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} ^{\mathsf {T}}}$. Tensor ini keluar sebagai matriks

${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}v_{1}w_{1}&v_{1}w_{2}&\cdots &v_{1}w_{m}\\v_{2}w_{1}&v_{2}w_{2}&\cdots &v_{2}w_{m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\v_{n}w_{1}&v_{n}w_{2}&\cdots &v_{n}w_{m}\end{bmatrix}}}$

dan matriks ini sesuai dengan tensor dengan konstruksi sebelumnya, yang mengingatkan bagaimana ia sesuai dengan peta linier (dengan mengalikan hanya pada satu sisi). Tensor ini sendiri menghasilkan ruang vektor dengan menambahkannya bersama-sama dan mengalikannya dengan skalar seperti yang biasa kita lakukan untuk matriks dan fungsi, dan kumpulan dari semua tensor yang terbentuk adalah produk tensor ${\displaystyle V\otimes W}$ dari dua ruang vektor itu sendiri. Faktanya, ruang ini setara dengan ruang peta yang diwakili oleh setiap matriks yang mungkin dari ukuran di atas, seperti yang dapat dilihat dengan mencatat bahwa produk tensor sederhana ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j}}$ (dimana ${\displaystyle \mathbf {f} _{j}}$ adalah dasar dari ruang vektor lainnya, ${\displaystyle W}$) memiliki "1" di posisi ke-${\displaystyle (i,j)}$ dan "0" di tempat lain, yang memungkinkan mereka untuk dikalikan dengan angka apa pun dan kemudian ditambahkan untuk mendapatkan matriks dengan entri arbitrer.

Tujuan dari bagian-bagian selanjutnya adalah untuk menemukan definisi yang setara dengan ini dimana dapat diterapkan tetapi tidak memerlukan pilihan basis tertentu dan itu juga dapat lebih mudah diterapkan ke berdimensi tak hingga pengaturan di mana konsep dasar yang biasa (Hamel basis) mungkin berperilaku buruk. Tidak memerlukan basis khusus berguna dari sudut pandang teoretis karena setiap ruang vektor memiliki basis, tidak semua basis dapat dibangun, dan terlebih lagi hasil itu sendiri tergantung pada penerimaan aksioma pilihan, yang mungkin ditolak dalam beberapa sistem matematika. Juga, berguna untuk menemukan konstruksi abstrak untuk analisis dari sudut pandang teori kategori, teori "gambaran besar matematika" yang sangat diperbesar dan bagaimana semua objek matematika berhubungan satu sama lain dalam pengertian yang sangat umum. Penggunaan kehidupan nyata yang sangat penting untuk memiliki definisi seperti itu dapat ditemukan di mekanika kuantum: hasil kali tensor dalam bentuk ini memungkinkan kita untuk membicarakan fungsi gelombang dari sistem dua partikel sebagai abstrak ruang Hilbert vektor tanpa harus menentukan dasar tertentu dari yang dapat diamati.

Langkah pertama yang akan kita pertimbangkan melibatkan memperkenalkan sesuatu yang disebut "ruang vektor bebas" di atas himpunan tertentu. Dorongan di balik ide ini pada dasarnya terdiri dari apa yang kita katakan di poin terakhir: karena tensor ${\displaystyle T}$ dapat ditulis dengan penjumlahan ganda

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}(v_{i}w_{j})(\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j})}$

cara paling alami untuk mendekati masalah ini adalah dengan mencari tahu bagaimana kita bisa "melupakan" tentang pilihan basa tertentu ${\displaystyle \mathbf {e} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {f} }$ yang digunakan di sini. Dalam matematika, cara kita "melupakan" tentang detail representasi dari sesuatu adalah untuk menetapkan suatu identifikasi yang memberitahu kita bahwa dua hal berbeda yang dianggap representasi dari hal yang sama pada kenyataannya adalah demikian, yaitu, jika mereka mengatakan "ya, mereka" atau "tidak, mereka tidak", dan kemudian "menyatukan" semua representasi sebagai penyusun "hal yang diwakili" tanpa mengacu pada siapa pun secara khusus dengan mengemas semuanya menjadi satu himpunan. Dalam istilah formal, pertama kita membangun relasi ekivalen, dan kemudian mengambil himpunan hasil bagi dengan relasi itu.

Tapi sebelum kita bisa melakukan itu, pertama-tama kita perlu mengembangkan apa yang akan kita ambil alih hubungan kesetaraan. Cara kami melakukannya adalah dengan melakukan pendekatan sebaliknya, dari "bottom up": karena kita tidak dijamin, setidaknya dapat dibangun, dasar saat memulai dari ruang vektor arbitrer, sebagai gantinya kita mungkin mencoba untuk memulai dengan menjamin bahwa kita memiliki satu — yaitu, kita akan mulai terlebih dahulu dengan mempertimbangkan "basis", dengan sendirinya, seperti yang diberikan, dan kemudian membangun ruang vektor di atas. Untuk itu, kita mencapai hal berikut: misalkan ${\displaystyle B}$ adalah beberapa set, yang bisa kita sebut himpunan dasar abstrak . Sekarang pertimbangkan semua ekspresi formal dari formulir

${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\beta _{1}+a_{2}\beta _{2}+\cdots +a_{n}\beta _{n}}$

dari sembarang, tapi terbatas, panjang ${\displaystyle n}$ dan ${\displaystyle a_{j}}$ yang mana adalah skalar dan ${\displaystyle \beta _{j}}$ adalah anggota ${\displaystyle B}$. Secara intuitif, ini adalah kombinasi linier dari vektor basis dalam arti biasa untuk memperluas elemen ruang vektor. Kami menyebutnya "ekspresi formal" karena secara teknis memperbanyak adalah ${\displaystyle a_{j}\beta _{j}}$ karena tidak ada operasi perkalian yang ditentukan secara default pada kumpulan arbitrer dan bidang skalar arbitrer. Sebaliknya, kita akan "berpura-pura" (mirip dengan mendefinisikan bilangan imajiner bahwa ini merujuk pada sesuatu, dan kemudian akan memanipulasinya sesuai dengan aturan yang kita harapkan untuk ruang vektor, misalnya jumlah dari dua string menggunakan urutan yang sama dari anggota ${\displaystyle B}$ adalah

${\displaystyle (a_{1}\beta _{1}+a_{2}\beta _{2}+\cdots +a_{n}\beta _{n})+(b_{1}\beta _{1}+b_{2}\beta _{2}+\cdots +b_{n}\beta _{n})=(a_{1}+b_{1})\beta _{1}+(a_{2}+b_{2})\beta _{2}+\cdots +(a_{n}+b_{n})\beta _{n}}$

di mana kita telah menggunakan hukum asosiatif, komutatif, dan distributif untuk mengatur ulang jumlah pertama menjadi yang kedua. Melanjutkan cara ini untuk kelipatan skalar dan semua kombinasi vektor dengan panjang yang berbeda memungkinkan kita untuk membuat penjumlahan vektor dan perkalian skalar pada kumpulan ekspresi formal ini, dan kami menyebutnya 'ruang vektor gratis' di atas ${\displaystyle B}$, menulis ${\displaystyle F(B)}$. Perhatikan bahwa elemen ${\displaystyle B}$, dianggap sebagai ekspresi formal panjang-satu dengan koefisien 1 di depan, membentuk basis Hamel untuk ruang ini.

Ekspresi hasil kali tensor kemudian diabstraksi dengan mempertimbangkan jika ${\displaystyle \beta _{j}}$ dan ${\displaystyle \gamma _{j}}$ mewakili "vektor basis abstrak" dari dua himpunan ${\displaystyle B}$ dan ${\displaystyle G}$, yaitu "${\displaystyle \beta _{j}=\mathbf {e} _{j}}$" dan "${\displaystyle \gamma _{j}=\mathbf {f} _{j}}$", kemudian pasangkan ini di produk Kartesius ${\displaystyle B\times G}$, yaitu ${\displaystyle (\beta _{i},\gamma _{j})}$ dianggap sebagai singkatan dari produk tensor ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {f} _{j}}$. (Perhatikan bahwa produk tensor dalam pernyataan tersebut dalam beberapa hal adalah "atom", yaitu penambahan dan perkalian skalar tidak membaginya menjadi yang lain, jadi kita dapat menggantinya dengan sesuatu yang berbeda tanpa mengubah struktur matematisnya.) Dengan identifikasi seperti itu, kita dapat menentukan produk tensor dari dua ruang vektor bebas ${\displaystyle F(B)}$ dan ${\displaystyle F(G)}$ sebagai sesuatu (belum diputuskan) yang isomorfik ${\displaystyle F(B\times G)}$.

Definisi di atas akan bekerja untuk setiap ruang vektor di mana kita dapat menentukan dasarnya, karena kita bisa membangunnya kembali sebagai ruang vektor gratis atas dasar itu: konstruksi di atas persis mencerminkan bagaimana Anda merepresentasikan vektor melalui konstruksi dasar Hamel menurut desain. Akibatnya, kami belum mendapatkan apa-apa... sampai kami melakukan ini.

Sekarang, kita tidak mengasumsikan akses ke basis untuk ruang vektor ${\displaystyle V}$ dan ${\displaystyle W}$ yang ingin kita bentuk produk tensor ${\displaystyle V\otimes W}$. Sebagai gantinya, kita akan mengambil semua dari ${\displaystyle V}$ dan ${\displaystyle WITH}$ sebagai "dasar" untuk membangun tensor. Ini adalah hal terbaik berikutnya dan satu hal yang dijamin dapat kami lakukan, terlepas dari kekhawatiran apa pun dalam menemukan dasar tertentu; ini sesuai dengan menambahkan bersama-sama produk luar yang sewenang-wenang ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$ vektor sewenang-wenang di bagian terakhir dari bagian "Motivasi intuitif". Satu-satunya perbedaan di sini adalah jika kita menggunakan konstruksi ruang vektor bebas dan membentuk yang sudah jelas ${\displaystyle F(V)\otimes F(W)=F(V\times W)}$, ia akan memiliki banyak versi redundan dari apa yang seharusnya merupakan tensor yang sama; kembali ke kasus dasar kita jika kita mempertimbangkan contoh di mana ${\displaystyle V=W=\mathbb {R} ^{2}}$ dalam basis standar, kita dapat menganggap bahwa tensor yang dibentuk oleh vektor ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}0&3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}5&-3\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}}$, yaitu

${\displaystyle T:=\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}0&0\\15&-9\end{bmatrix}},}$

bisa juga diwakili oleh penjumlahan lain, seperti penjumlahan menggunakan tensor dasar individu ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$, misalnya

${\displaystyle T=0(\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1})+0(\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2})+15(\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1})-9(\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}).}$

Ini, meskipun ekspresi yang sama dalam kasus konkret, akan sesuai dengan elemen berbeda dari ruang vektor bebas ${\displaystyle F(V\times W)}$, namely

${\displaystyle T=(x,y)}$

dalam kasus pertama dan

${\displaystyle T=0(e_{1},e_{1})+0(e_{1},e_{2})+15(e_{2},e_{1})-9(e_{2},e_{2})}$

dalam kasus kedua. Jadi kita harus memadatkannya — di sinilah hubungan kesetaraan berperan. Trik untuk membangunnya adalah dengan memperhatikan vektor yang diberikan ${\displaystyle \mathbf {x} }$ dalam ruang vektor, itu selalu memungkinkan untuk merepresentasikannya sebagai jumlah dari dua vektor lainnya ${\displaystyle \mathbf {a} }$ dan ${\displaystyle \mathbf {b} }$ tidak sama dengan aslinya. Jika tidak ada yang lain, karena ${\displaystyle \mathbf {a} }$ menjadi vektor apapun dan kemudian mengambil ${\displaystyle \mathbf {b} :=\mathbf {x} -\mathbf {a} }$ yang juga menunjukkan bahwa jika kita diberikan satu vektor dan kemudian vektor kedua, kita dapat menulis vektor pertama dalam suku yang kedua bersama dengan vektor ketiga yang sesuai (memang dalam banyak hal, anggap saja kelipatan skalar dari vektor kedua dalam pengurangan yang sama).

Ini berguna bagi kami karena hasil kali luar memenuhi properti linearitas berikut, yang dapat dibuktikan dengan aljabar sederhana pada ekspresi matriks terkait:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\mathsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$

Jika kita ingin menghubungkan produk luarnya ${\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} }$ untuk ${\displaystyle \mathbf {e_{1}} \otimes \mathbf {w} }$, kita bisa menggunakan relasi pertama di atas bersama dengan ekspresi yang sesuai ${\displaystyle \mathbf {v} }$ sebagai penjumlahan dari beberapa vektor dan beberapa kelipatan skalar ${\displaystyle \mathbf {e_{1}} }$.

Persamaan antara dua tensor beton kemudian diperoleh jika menggunakan aturan di atas akan memungkinkan kita untuk mengatur ulang satu penjumlahan dari hasil kali luar ke yang lain dengan menguraikan vektor yang sesuai — terlepas dari apakah kita memiliki himpunan vektor basis aktual. Menerapkannya pada contoh kita di atas, kita melihat bahwa tentu saja kita punya

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=0\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}\\\mathbf {y} &=5\mathbf {e} _{1}-3\mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

untuk substitusi mana

${\displaystyle T=\mathbf {x} \otimes \mathbf {y} }$

memberi kami

${\displaystyle T=(0\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2})\otimes (5\mathbf {e} _{1}-3\mathbf {e} _{2})}$

dan penggunaan yang bijaksana dari properti distributivitas memungkinkan kami mengatur ulang ke bentuk yang diinginkan. Demikian juga, ada manipulasi "cermin" yang sesuai dalam kaitannya dengan elemen ruang vektor bebas ${\displaystyle (x,y)}$ dan ${\displaystyle (e_{1},e_{1})}$, ${\displaystyle (e_{1},e_{2})}$, dll. Dan ini akhirnya membawa kita ke definisi formal dari produk tensor.

Abstrak hasil kali tensor dari dua ruang vektor ${\displaystyle V}$ dan ${\displaystyle W}$ di atas bidang dasar yang sama ${\displaystyle K}$ adalah vektor hasil bagi

${\displaystyle V\otimes W:=F(V\times W)/{\sim }}$

dimana ${\displaystyle \sim }$ adalah hubungan kesetaraan dari persamaan formal yang dihasilkan dengan mengasumsikan bahwa, untuk masing-masing ${\displaystyle (v,w)}$ dan ${\displaystyle (v',w')}$ diambil sebagai ekspresi formal dalam ruang vektor bebas ${\displaystyle F(V\times W)}$, penangguhan berikut:

Identitas. ${\displaystyle (v,w)\sim (v,w).}$

Simetri. ${\displaystyle (v,w)\sim (v',w')}$ berarti ${\displaystyle (v',w')\sim (v,w).}$

Transitivitas. ${\displaystyle (v,w)\sim (v',w')}$ dan ${\displaystyle (v',w')\sim (v'',w'')}$ berarti ${\displaystyle (v,w)\sim (v'',w'').}$

Distributivitas. ${\displaystyle (v,w)+(v',w)\sim (v+v',w)}$ dan ${\displaystyle (v,w)+(v,w')\sim (v,w+w').}$

Kelipatan skalar ${\displaystyle c(v,w)\sim (cv,w)}$ dan ${\displaystyle c(v,w)\sim (v,cw).}$

dan kemudian menguji kesetaraan ekspresi formal generik melalui manipulasi yang sesuai berdasarkan padanya.^{[butuh rujukan]} Aritmetika didefinisikan pada hasil kali tensor dengan memilih elemen perwakilan, menerapkan aturan aritmatika, dan akhirnya mengambil kelas ekivalen. Apalagi diberikan dua vektor ${\displaystyle v\in V}$ dan ${\displaystyle w\in W}$, kelas kesetaraan ${\displaystyle [(v,w)]}$ dilambangkan ${\displaystyle v\otimes w}$.

Elemen V ⊗ W sering disebut sebagai tensor , meskipun istilah ini juga mengacu pada banyak konsep terkait lainnya.^[1] Jika v milik V dan w milik W , maka kelas ekivalen dari (v, w) dilambangkan dengan v ⊗ w , yang disebut hasil kali tensor dari v dengan w. Dalam fisika dan teknik, ini menggunakan Simbol "⊗" merujuk secara khusus ke operasi hasil luar; hasil perkalian luar v ⊗ w adalah salah satu cara standar untuk merepresentasikan kelas ekivalensi v ⊗ w.^[2] An elemen dari V ⊗ W yang bisa ditulis dalam bentuk v ⊗ w disebut murni atau tensor sederhana. Secara umum, elemen hasil kali tensor bukanlah tensor murni, melainkan kombinasi linier terbatas dari tensor murni. Misalnya, jika v₁ dan v₂ adalah independen linear, dan w₁ dan w₂ juga independen linear v₁ ⊗ w₁ + v₂ ⊗ w₂ tidak dapat ditulis sebagai tensor murni. Jumlah tensor sederhana yang diperlukan untuk mengekspresikan elemen produk tensor disebut peringkat tensor (jangan bingung dengan urutan tensor, yang merupakan jumlah spasi yang telah diambil hasil kali, dalam hal ini 2; dalam notasi, jumlah indeks), dan untuk operator linier atau matriks, dianggap sebagai tensor (1, 1) (elemen ruang V ⊗ V^∗), itu setuju dengan peringkat matriks.

Pangkalan yang diberikan {v_i} dan {w_j} untuk V dan W , tensor {v_i ⊗ w_j} membentuk dasar untuk V ⊗ W . Oleh karena itu, jika V dan W adalah berdimensi berhingga, dimensi produk tensor adalah hasil kali dari dimensi ruang asli; contohnya R^m ⊗ Rⁿ isomorfik untuk R^mn.

Produk tensor juga beroperasi pada peta linier antara ruang vektor. Secara khusus, diberikan dua peta linear S : V → X and T : W → Y antara ruang vektor, perkalian tensor dari dua peta linier S dan T adalah peta linier

${\displaystyle S\otimes T:V\otimes W\to X\otimes Y}$

didefinisikan oleh

${\displaystyle (S\otimes T)(v\otimes w)=S(v)\otimes T(w).}$

Dengan cara ini, hasil kali tensor menjadi bifunctor dari kategori ruang vektor ke dirinya sendiri, kovarian di kedua argumen.^[3]

Jika S dan T keduanya injektif, dugaan atau (dalam hal V, X, W, dan Y adalah ruang vektor bernorma atau ruang vektor topologis s) kontinu, lalu S ⊗ T bersifat injektif, surjektiv atau kontinu.

Dengan memilih basis dari semua ruang vektor yang terlibat, peta linier S dan T dapat diwakili oleh matriks. Lalu, tergantung bagaimana tensor ${\displaystyle v\otimes w}$ adalah vektor, matriks yang menjelaskan hasil kali tensor S ⊗ T adalah hasil Kronecker dari dua matriks. Misalnya, jika V, X, W, dan Y di atas semuanya dua dimensi dan basis telah ditetapkan untuk semuanya, dan S dan T diberikan oleh matriks

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}},\qquad B={\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}},}$

masing-masing, maka produk tensor dari kedua matriks ini adalah

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{1,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\[3pt]a_{2,1}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}&a_{2,2}{\begin{bmatrix}b_{1,1}&b_{1,2}\\b_{2,1}&b_{2,2}\\\end{bmatrix}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1,1}b_{1,1}&a_{1,1}b_{1,2}&a_{1,2}b_{1,1}&a_{1,2}b_{1,2}\\a_{1,1}b_{2,1}&a_{1,1}b_{2,2}&a_{1,2}b_{2,1}&a_{1,2}b_{2,2}\\a_{2,1}b_{1,1}&a_{2,1}b_{1,2}&a_{2,2}b_{1,1}&a_{2,2}b_{1,2}\\a_{2,1}b_{2,1}&a_{2,1}b_{2,2}&a_{2,2}b_{2,1}&a_{2,2}b_{2,2}\\\end{bmatrix}}.}$

Peringkat yang dihasilkan paling banyak 4, dan dengan demikian dimensi yang dihasilkan adalah 4. Perhatikan bahwa peringkat di sini menunjukkan peringkat tensor yaitu jumlah indeks yang diperlukan (sedangkan peringkat matriks menghitung jumlah derajat kebebasan dalam larik yang dihasilkan). Catatan ${\displaystyle \operatorname {Tr} A\otimes B=\operatorname {Tr} A\times \operatorname {Tr} B}$.

perkalian diadik adalah kasus khusus dari hasil kali tensor antara dua vektor dengan dimensi yang sama.

Dalam konteks ruang vektor, hasil kali tensor ${\displaystyle V\otimes W}$ dan peta bilinear terkait ${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$ dicirikan hingga isomorfisme oleh properti universal terkait peta bilinear. (Ingatlah bahwa peta bilinear adalah fungsi yang terpisah linier di setiap argumennya.) Secara informal, ${\displaystyle \varphi }$ adalah peta bilinear yang paling umum ${\displaystyle V\times W}$.

Ruang vektor ${\displaystyle V\otimes W}$ dan peta bilinear terkait ${\displaystyle \varphi :V\times W\to V\otimes W}$ memiliki properti yang peta bilinear apapun ${\displaystyle h:V\times W\to Z}$ dari ${\displaystyle V\times W}$ ke ruang vektor mana pun yang dimasukkan faktor ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \varphi }$ secara unik. Dengan mengucapkan "${\displaystyle h}$ faktor melalui ${\displaystyle \varphi }$ secara unik ", maksud kami ada peta linier unik ${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$ seperti ${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ \varphi }$.

Karakterisasi ini dapat menyederhanakan pembuktian tentang produk tensor. Misalnya, hasil kali tensor simetris, artinya terdapat isomorfisma kanonik:

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V.}$

Untuk membuat, katakanlah, peta dari ${\displaystyle V\otimes W}$ ke ${\displaystyle W\otimes V}$, itu sudah cukup untuk memberikan peta bilinear ${\displaystyle h:V\times W\to W\otimes V}$ peta itu ${\displaystyle (v,w)}$ ke ${\displaystyle w\otimes v}$. Kemudian properti universal ${\displaystyle V\otimes W}$ berarti faktor ${\displaystyle h}$ ke dalam peta ${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to W\otimes V}$. A map ${\displaystyle {\tilde {g}}:W\otimes V\to V\otimes W}$ dalam arah yang berlawanan didefinisikan dengan cara yang sama, dan seseorang memeriksa bahwa dua peta linier ${\displaystyle {\tilde {h}}}$ dan ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ adalah invers satu sama lain dengan kembali menggunakan properti universal mereka.

Properti universal sangat berguna dalam menunjukkan bahwa peta ke produk tensor bersifat injektif. Misalnya, kita ingin menunjukkan ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} }$ is isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Karena semua tensor sederhana berbentuk ${\displaystyle a\otimes b=(ab)\otimes 1}$, dan karenanya semua elemen produk tensor adalah bentuk ${\displaystyle x\otimes 1}$ dengan aditifitas pada koordinat pertama, kita memiliki kandidat alami untuk isomorfisme ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} }$ diberikan oleh pemetaan ${\displaystyle x}$ ke ${\displaystyle x\otimes 1}$, dan peta ini sangat meyakinkan.

Menunjukkan suntikan secara langsung akan melibatkan entah bagaimana menunjukkan bahwa tidak ada hubungan non-sepele di antara keduanya ${\displaystyle x\otimes 1}$ dan ${\displaystyle y\otimes 1}$ ke ${\displaystyle x\neq y}$, yang tampaknya menakutkan. Namun, kita tahu bahwa ada peta bilinear ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ diberikan dengan mengalikan koordinat, dan properti universal produk tensor kemudian melengkapi peta ruang vektor ${\displaystyle \mathbb {R} \otimes \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ peta ${\displaystyle x\otimes 1}$ ke ${\displaystyle x}$, dan karenanya merupakan kebalikan dari homomorfisme yang dikonstruksi sebelumnya, segera menyiratkan hasil yang diinginkan. Perhatikan bahwa, apriori, bahkan tidak jelas bahwa peta terbalik ini terdefinisi dengan baik, tetapi properti universal dan peta bilinear yang terkait bersama-sama menyiratkan bahwa memang demikian.

Penalaran serupa dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa produk tensor bersifat asosiatif, yaitu terdapat isomorfisme alami

${\displaystyle V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{2})\otimes V_{3}.}$

Oleh karena itu, biasanya tanda kurung dihilangkan dan ditulis ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}}$.

Kategori ruang vektor dengan hasil kali tensor adalah contoh dari sebuah kategori monoidal simetris.

Definisi properti universal dari produk tensor valid di lebih banyak kategori daripada hanya kategori ruang vektor. Alih-alih menggunakan peta multilinear (bilinear), definisi produk tensor umum menggunakan multimorfisme.^[4]

Misalkan n adalah bilangan bulat non-negatif. n ke tensor pangkat dari ruang vektor V adalah n - hasil kali tensor lipat dari V dengan dirinya sendiri. Itu adalah

${\displaystyle V^{\otimes n}\;{\overset {\mathrm {def} }{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{n}.}$

Permutasi σ dari himpunan {1, 2, ..., n } menentukan pemetaan dari n pangkat Kartesius dari V sebagai berikut:

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :V^{n}\to V^{n}\\\sigma (v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\ldots ,v_{\sigma (n)}\right)\end{cases}}}$

Maka

${\displaystyle \varphi :V^{n}\to V^{\otimes n}}$

jadilah multilinear alami yang menanamkan pangkat Kartesius dari V ke dalam pangkat tensor V . Kemudian, berdasarkan sifat universal, ada isomorfisme yang unik

${\displaystyle \tau _{\sigma }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$

seperti

${\displaystyle \varphi \circ \sigma =\tau _{\sigma }\circ \varphi .}$

Isomorfisme τ_σ disebut mengepang peta yang terkait dengan permutasi σ.

Untuk bilangan bulat non-negatif r dan s tipe ( r , s ) [ [tensor]] pada ruang vektor V adalah elemen dari

${\displaystyle T_{s}^{r}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{r}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}} _{s}=V^{\otimes r}\otimes \left(V^{*}\right)^{\otimes s}.}$

Maka V^∗ adalah ruang vektor ganda (yang terdiri dari semua peta linier f dari V ke bidang tanah K ).

Ada peta produk, yang disebut (tensor) produk tensor ^[5]

${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\otimes _{K}T_{s'}^{r'}(V)\to T_{s+s'}^{r+r'}(V).}$

Ini ditentukan dengan mengelompokkan semua "faktor" yang muncul V bersama-sama: menulis v_i untuk elemen V dan f_i untuk elemen ruang ganda,

${\displaystyle (v_{1}\otimes f_{1})\otimes (v'_{1})=v_{1}\otimes v'_{1}\otimes f_{1}.}$

Memilih basis dari V dan basis ganda yang sesuai V^∗ secara alami menginduksi dasar untuk Trs(V) (dasar ini dijelaskan di artikel tentang produk Kronecker). Dalam hal basis ini, komponen dari produk (tensor) dari dua (atau lebih) tensor dapat dihitung. Sebagai contoh, jika F dan G adalah dua kovarian tensor urutan {{math | m } } dan n (yaitu F ∈ T 0m, dan G ∈ T 0n), kemudian komponen produk tensor mereka diberikan oleh^[6]

${\displaystyle (F\otimes G)_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m+n}}=F_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}G_{i_{m+1}i_{m+2}i_{m+3}\cdots i_{m+n}}.}$

Jadi, komponen hasil kali tensor dari dua buah tensor merupakan hasil kali biasa dari komponen setiap tensor. Contoh lain: misalkan 'U' menjadi tensor bertipe (1, 1) dengan kompenen U^α_β, dan biarkan V menjadi tensor berjenis (1, 0) dengan komponen V ^γ. Then

${\displaystyle (U\otimes V)^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }=U^{\alpha }{}_{\beta }V^{\gamma }}$

dan

${\displaystyle (V\otimes U)^{\mu \nu }{}_{\sigma }=V^{\mu }U^{\nu }{}_{\sigma }.}$

Tensor yang dilengkapi dengan operasi produknya membentuk sebuah aljabar, yang disebut aljabar tensor.

Untuk tensor tipe (1, 1) ada kanonik peta evaluasi

${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$

ditentukan oleh aksinya pada tensor murni:

${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$

Secara lebih umum, untuk tensor jenis ( r , s ), dengan r , s > 0, terdapat peta, yang disebut kontraksi tensor,

${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$

(Salinan dari V dan V^* di mana peta ini akan diterapkan harus ditentukan.)

Di sisi lain, jika V adalah finite-dimensional , ada peta kanonik di arah lain (disebut peta evaluasi)

${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$

dimana v₁, ..., v_n adalah dasar apa pun dari V , dan v_i^∗ adalah basis ganda. Peta ini tidak bergantung pada pilihan dasar.^[7]

Interaksi evaluasi dan koevaluasi dapat digunakan untuk mengkarakterisasi ruang vektor berdimensi-hingga tanpa mengacu pada basis.^[8]

Produk tensor ${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$ secara alami dapat dilihat sebagai modul untuk aljabar Lie End ( V ) melalui aksi diagonal: untuk kesederhanaan mari kita asumsikan r = s = 1, then, for each u ∈ End(V),

${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$

dimana u^∗ pada End(V^∗) adalah transpos dari u , yaitu, dalam hal pasangan yang jelas pada V ⊗ V^∗,

${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle }$.

There is a canonical isomorphism ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$ given by

${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$

Under this isomorphism, every u in End(V) may be first viewed as an endomorphism of ${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$ and then viewed as an endomorphism of End(V). In fact it is the adjoint representation ad(u) of End(V).

• Produk diadik – konsep dalam aljabar linear, digeneralisasikan di seluruh matematika
• Perpanjangan skalar – konsep dalam aljabar linear, digeneralisasikan di seluruh matematika
• Kategori monoid – konsep dalam aljabar linear, digeneralisasikan di seluruh matematika
• Tensor aljabar – konsep dalam aljabar linear, digeneralisasikan di seluruh matematika
• Tensor kontraksi – konsep dalam aljabar linear, digeneralisasikan di seluruh matematika
• Produk tensor topologi – konsep dalam aljabar linear, digeneralisasikan di seluruh matematika

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. 
• Gowers, Timothy. "How to lose your fear of tensor products". 
• Grillet, Pierre A. (2007). Abstract Algebra. Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 978-0387715674. 
• Halmos, Paul (1974). Finite dimensional vector spaces. Springer. ISBN 0-387-90093-4. 
• Hungerford, Thomas W. (2003). Algebra. Springer. ISBN 0387905189. 
• Templat:Lang Algebra
• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999). Algebra. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2. 
• Aguiar, M.; Mahajan, S. (2010). Monoidal functors, species and Hopf algebras. CRM Monograph Series Vol 29. ISBN 978-0-8218-4776-3. 
• "Bibliography on the nonabelian tensor product of groups".