Fungsi invers

Fungsi Invers

Fungsi Invers (atau fungsi kebalikan) adalah (dalam matematika) fungsi yang merupakan kebalikan aksi dari suatu fungsi.[1] Misalnya anggap saja ${\displaystyle f}$ sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B.[2] Bila dapat ditentukan sebuah fungsi ${\displaystyle g}$ dari himpunan B ke himpunan A sedemikian, sehingga ${\displaystyle g(f(a))=a}$ dan ${\displaystyle f(f(b))=b}$ untuk setiap a dalam A dan b dalam B, maka ${\displaystyle g}$ disebut fungsi invers dari ${\displaystyle f}$ dan bisa ditulis sebagai ${\displaystyle f^{-1}}$.[2] Sebelum mengetahui fungsi invers maka harus mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers.[1] Fungsi ${\displaystyle f(x)}$ akan memiliki invers dengan syarat ${\displaystyle f(x)}$ merupakan fungsi bijektif.[1] Jika fungsi ${\displaystyle f}$ memetakan anggota himpunan A ke himpunan B maka invers dari fungsi ${\displaystyle f}$ atau ditulis ${\displaystyle f^{-1}}$ memetakan himpunan B ke himpunan A.[1] Kemudian ketika suatu bilangan itu dioperasikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan identitas.[1] Identitas adalah suatu bilangan yang jika dioperasikan dengan suatu bilangan, maka akan menghasilkan suatu bilangan tersebut dan pada operasi perkalian, identitasnya adalah 1 karena apabila dikalikan dengan suatu bilangan hasilnya suatu bilangan.[1] Sedangkan, pada penjumlahan identitasnya adalah 0 karena bila dijumlahkan dengan bilangan tertentu hasilnya bilangan tertentu.[1] Pada fungsi juga berlaku demikian, sebuah fungsi bila dikomposisikan dengan invers maka menghasilkan fungsi identitas, yaitu ${\displaystyle f(x)=x}$.[1]

Simetri

Ada kesimetrian antara suatu fungsi dan kebalikannya. Secara khusus, jika f adalah fungsi yang dapat dibalik dengan domain X dan rentang Y, maka kebalikannya f^−1 memiliki domain Y dan rentang X, serta kebalikan dari f^−1 adalah fungsi asli f. Dalam simbol, untuk fungsi f:X → Y dan f^−1:Y → X,[3]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ dan ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Pernyataan ini adalah konsekuensi dari implikasi bahwa agar f dapat dibalik, pernyataan itu harus bersifat bijektiv. Sifat involutori dari invers dapat diekspresikan secara ringkas[4]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

Kebalikan dari g ∘ f adalah f^−1 ∘ g^−1.

Kebalikan dari komposisi fungsi diberikan oleh[5]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Perhatikan bahwa urutan g dan f telah dibalik; untuk mengurungkan f diikuti oleh g, pertama-tama kita harus membatalkan g, lalu mengurungkan f.

Misalnya, maka f(x) = 3x dan jika g(x) = x + 5. Kemudian komposisinya g ∘ f adalah fungsi yang pertama kali dikalikan tiga lalu ditambahkan lima,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Untuk membalik proses ini, pertama-tama kita harus mengurangi lima, lalu membaginya dengan tiga,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

kemudian sisi kanan invers masing-masing yaitu ${\displaystyle f^{-1}={\frac {x}{3}}}$ dan ${\displaystyle g^{-1}=x-5}$ maka ${\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}}$ adalah ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Fungsi invers dalam kalkulus

Variabel tunggal kalkulus terutama berkaitan dengan fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real. Fungsi seperti itu sering kali didefinisikan melalui rumus, seperti:

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.}$

Fungsi dugaan f dari bilangan real ke bilangan real memiliki invers, asalkan satu-ke-satu. Artinya, grafik y = f(x) memiliki, untuk setiap kemungkinan nilai y, hanya satu nilai x yang sesuai, dan dengan demikian lolos uji garis horizontal.

Tabel berikut menunjukkan beberapa fungsi standar dan invers:

Fungsi f(x)	Invers f^−1(y)	Catatan
x + a	y − a
a − x	a − y
mx	ym	m ≠ 0
1x (yaitu x^−1)	1y (yaitu y^−1)	x, y ≠ 0
x^2	√y (yaitu y^1/2)	x, y ≥ 0
x^3	^3√y (yaitu y^1/3)	tidak ada batasan x dan y
x^p	^p√y (yaitu y^1/p)	x, y ≥ 0 jika p genap; bilangan bulat p > 0
2^x	lb y	y > 0
e^x	ln y	y > 0
10^x	log y	y > 0
ax + bcx + d	- ax + bcx - d	x ≠ d/c; - d/c
a^x	loga y	y > 0 dan a > 0
Fungsi trigonometrik	Fungsi trigonometri invers	berbagai batasan (lihat tabel di bawah)
Fungsi hiperbolik	Fungsi hiperbolik invers	berbagai batasan

Fungsi Invers (sel)

Jika X adalah himpunan, maka fungsi identitas di X adalah kebalikannya:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

Secara lebih umum, sebuah fungsi f : X → X sama dengan kebalikannya sendiri, hanya komposisi f ∘ f adalah id_X. Fungsi seperti itu disebut involusi.

Rumus utama untuk Fungsi invers

Salah satu pendekatan untuk menemukan rumus f^−1, adalah untuk menyelesaikan persamaan y = f(x) untuk x.[6] Misalnya, jika f adalah fungsinya

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

maka kita harus menyelesaikan persamaan tersebut y = (2x + 8)^3 dari x:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Demikianlah fungsi invers f^−1 diberikan oleh rumus

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

Terkadang, kebalikan dari suatu fungsi tidak dapat diekspresikan dengan rumus dengan jumlah suku terbatas. Misalnya, jika f adalah fungsinya

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

maka f adalah bijection, dan karena itu memiliki fungsi invers f^−1. rumus untuk invers ini memiliki jumlah suku yang tak terhingga:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Grafik invers

Grafik dari y = f(x) dan y = f^−1(x). Garis putus adalah y = x.

Jika f dapat dibalik, maka grafik fungsinya

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

sama dengan grafik persamaan

${\displaystyle x=f(y).}$

Ini identik dengan persamaan y = f(x) yang mendefinisikan grafik f, kecuali peran x dan y telah dibalik. Demikian grafik f^−1 dapat diperoleh dari grafik f dengan mengganti posisi sumbu x dan y. Ini setara dengan mencerminkan grafik melintasi garis y = x.[7][8]

Dalam fungsi trigonometri

Artikel utama: Fungsi trigonometrik dan Fungsi trigonometri invers

Fungsi trigonometri bersifat periodik, dan karenanya bukan injeksi, jadi tegaskan pada nilai yang tidak memiliki fungsi invers. Namun, pada setiap interval di mana fungsi trigonometri monotonik, seseorang dapat mendefinisikan fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi trigonometri terbalik sebagai fungsi multinilai. Untuk mendefinisikan fungsi invers yang benar, seseorang harus membatasi domain ke interval di mana fungsinya monotonik, dan dengan demikian bijektiv dari interval ini ke citranya dengan fungsi. Pilihan umum untuk interval ini, yang disebut himpunan nilai pokok s, diberikan dalam tabel berikut. Seperti biasa, fungsi trigonometri terbalik dilambangkan dengan awalan "arc" sebelum nama atau singkatan dari fungsi tersebut.

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline {\text{Fungsi}}&{\text{Definisi}}&{\text{Domain}}&{\text{Kumpulan nilai pokok}}\\\hline y=\arcsin x&\sin y=x&-1\leq x\leq 1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}\\y=\arccos x&\cos y=x&-1\leq x\leq 1&0\leq y\leq \pi \\y=\arctan x&\tan y=x&-\infty \leq x\leq \infty &-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccot} x&\cot y=x&-\infty \leq x\leq \infty &0<y<\pi \\y=\operatorname {arcsec} x&\sec y=x&x<-1{\text{ atau }}x>1&0\leq y\leq \pi ,\;y\neq {\frac {\pi }{2}}\\y=\operatorname {arccsc} x&\csc y=x&x<-1{\text{ atau }}x>1&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},\;y\neq 0\\\hline \end{array}}}$

Fungsi invers dan turunan

Sebuah fungsi kontinu f dapat dibalik pada rentangnya (gambar) jika dan hanya jika meningkat atau menurun (tanpa lokal maksimal dan minimum, contoh dari:

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

dapat dibalik, karena turunan f′(x) = 3x^2 + 1 selalu positif.

Jika fungsi f adalah dapat dibedakan pada interval I dan f′(x) ≠ 0 untuk setiap x ∈ I, lalu kebalikannya f^−1 dapat dibedakan f(I).[9] Bila y = f(x), turunan dari invers diberikan oleh teorema fungsi invers,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Menggunakan notasi Leibniz rumus di atas dapat ditulis sebagai

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Hasil ini mengikuti aturan rantai (lihat artikel tentang Fungsi dan diferensiasi invers).

Teorema fungsi invers dapat digeneralisasikan menjadi fungsi dari beberapa variabel. Secara khusus, fungsi multivariabel f : R^n → R^n dapat dibalik di lingkungan titik p selama matriks Jacobian dari f pada p adalah dapat dibalik. Dalam hal ini, Jacobian dari f^−1 pada f(p) adalah invers matriks dari Jacobian dari f pada p.

Contoh

• Tentukan ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=2x+3}$!

${\displaystyle f(x)=2x+3}$

${\displaystyle f(x)-3=2x}$

${\displaystyle x={\frac {f(x)-3}{2}}}$

${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {x-3}{2}}}$

• Tentukan ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}$!

${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+15}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}-6x+9-9+15}$

${\displaystyle f(x)=(x-3)^{2}+6}$

${\displaystyle f(x)-6=(x-3)^{2}}$

${\displaystyle x-3=\pm {\sqrt {f(x)-6}}}$

${\displaystyle x=3\pm {\sqrt {f(x)-6}}}$

${\displaystyle f^{-1}(x)=3\pm {\sqrt {x-6}}}$

• Tentukan ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}$!

${\displaystyle f(x)={\frac {2x-7}{5x+3}}}$

${\displaystyle (5x+3)f(x)=2x-7}$

${\displaystyle 5xf(x)+3f(x)=2x-7}$

${\displaystyle 5xf(x)-2x=-3f(x)-7}$

${\displaystyle (5f(x)-2)x=-3f(x)-7}$

${\displaystyle x={\frac {-3f(x)-7}{5f(x)-2}}}$

${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {-3x-7}{5x-2}}}$

• Tentukan ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=e^{x+3}}$!

${\displaystyle f(x)=e^{x+3}}$

${\displaystyle ^{e}\log f(x)=x+3}$

${\displaystyle x=^{e}\log f(x)-3}$ (karena ${\displaystyle ^{e}\log x=\ln x}$)

${\displaystyle f^{-1}(x)=\ln x-3}$

• Tentukan ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=^{2}\log {(x^{2}+8x-25)}}$!

${\displaystyle f(x)=^{2}\log {(x^{2}+8x-25)}}$

${\displaystyle x^{2}+8x-25=2^{f(x)}}$

${\displaystyle x^{2}+8x+16-16-25=2^{f(x)}}$

${\displaystyle x^{2}+8x+16-41=2^{f(x)}}$

${\displaystyle (x+4)^{2}-41=2^{f(x)}}$

${\displaystyle (x+4)^{2}=41+2^{f(x)}}$

${\displaystyle x+4=\pm {\sqrt {41+2^{f(x)}}}}$

${\displaystyle x=-4\pm {\sqrt {41+2^{f(x)}}}}$

${\displaystyle f^{-1}(x)=-4\pm {\sqrt {41+2^{x}}}}$

• Tentukan ${\displaystyle f^{-1}(x)}$ dari ${\displaystyle f(x)=sin(4x+3)-7}$!

${\displaystyle f(x)=sin(4x+3)-7}$

${\displaystyle f(x)+7=sin(4x+3)}$

${\displaystyle 4x+3=arcsin(f(x)+7)}$

${\displaystyle 4x=arcsin(f(x)+7)-3}$

${\displaystyle x={\frac {arcsin(f(x)+7)-3}{4}}}$

${\displaystyle f^{-1}(x)={\frac {arcsin(x+7)-3}{4}}}$

Lihat pula

• Fungsi (matematika)
• Komposisi fungsi

Referensi

1. "Fungsi Invers". Diarsipkan dari versi asli tanggal 2014-09-26. Diakses tanggal 14 Juni 2014. 
2. Van Hoeve. Ensiklopedia Indonesia, Jilid 7. Jakarta: Ichtiar Baru. hlm. 1048.  Parameter |coauthor= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan)
3. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama Wolf72
4. Smith, Eggen & St. Andre 2006, pg. 141 Theorem 3.3(a)
5. Lay 2006, p. 71, Theorem 7.26
6. Devlin 2004, p. 101
7. Briggs & Cochran 2011, pp. 28–29
8. Kesalahan pengutipan: Tag <ref> tidak sah; tidak ditemukan teks untuk ref bernama :2
9. Lay 2006, p. 246, Theorem 26.10

Bacaan lebih lanjut

• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPA. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-503-3.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)
• Kurnianingsih, Sri (2007). Matematika SMA dan MA 2B Untuk Kelas XI Semester 2 Program IPS. Jakarta: Esis/Erlangga. ISBN 979-734-564-5.  Parameter |coauthors= yang tidak diketahui mengabaikan (|author= yang disarankan) (bantuan) (Indonesia)