非整数进位制

非整数进位制是指底数不是正整數的进位制。對於一個非正整數的底數β > 1，以下的數值: ${\displaystyle x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}}$ 為

${\displaystyle x=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}+\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.}$

而數字d_i為小於β的非負整數。此進位制可以配合所使用β，稱為β进制或β展開，後者的名稱是數學家Rényi在1957年開始使用[1]，而數學家Parry在1960年第一個進行相關的研究[2]。每一個實數至少有一個β进位制的表示方式（也可能是無限多個）。

β进制可以應用在编码理论[3]及準晶體模型的描述[4][5]。

建構

β进制是十進制的延伸。十進制的表示法不唯一（例如，1.000... = 0.999...），不過所有有限位數的十進制表示法是唯一的。有限位數β进制就不一定有此特性，例如，在β = φ（黃金比例）時，φ + 1 = φ。

針對特定實數，選擇其β进制各位數的方式，可以用以下的贪心算法產生，本質上是來自Rényi (1957)，此處的公式則來自Frougny (1992) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFFrougny1992 (幫助)。

令β > 1是底數，x為非負的實數。令⌊x⌋是x的取整函数（小於等於x的最大整數），令{x} = x − ⌊x⌋是x的小數部份。存在一整數k使得β^k ≤ x < β^k+1。令

${\displaystyle d_{k}=\lfloor x/\beta ^{k}\rfloor }$

且

${\displaystyle r_{k}=\{x/\beta ^{k}\}.\,}$

針對k − 1 ≥  j > −∞，定義

${\displaystyle d_{j}=\lfloor \beta r_{j+1}\rfloor ,\quad r_{j}=\{\beta r_{j+1}\}.}$

換句話說，x的正規β進制表示法可以用以下方式得到：先選擇最大的d_k，使得β^kd_k ≤ x，再選擇最大的d_k−1，使得β^kd_k + β^k−1d_k−1 ≤ x，以此類推。此作法會選擇可以表示x，字典序最大的字串。

若是整數進位制，以上方式會產生一般整數進位制下的數值。因此此建構方式將一般的演算法推廣到非整數的基底β。

參考文獻

1. Rényi, Alfréd, Representations for real numbers and their ergodic properties, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1957, 8 (3–4): 477–493, ISSN 0001-5954, MR 0097374, S2CID 122635654, doi:10.1007/BF02020331, hdl:10338.dmlcz/102491  
2. Parry, W., On the β-expansions of real numbers, Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae, 1960, 11 (3–4): 401–416, ISSN 0001-5954, MR 0142719, S2CID 116417864, doi:10.1007/bf02020954, hdl:10338.dmlcz/120535  
3. Kautz, William H., Fibonacci codes for synchronization control, Institute of Electrical and Electronics Engineers. Transactions on Information Theory, 1965, IT–11 (2): 284–292, ISSN 0018-9448, MR 0191744, doi:10.1109/TIT.1965.1053772 
4. Burdik, Č.; Frougny, Ch.; Gazeau, J. P.; Krejcar, R., Beta-integers as natural counting systems for quasicrystals, Journal of Physics A: Mathematical and General, 1998, 31 (30): 6449–6472, Bibcode:1998JPhA...31.6449B, CiteSeerX 10.1.1.30.5106 , ISSN 0305-4470, MR 1644115, doi:10.1088/0305-4470/31/30/011 
5. Thurston, W.P., Groups, tilings and finite state automata, AMS Colloquium Lectures, 1989 

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