米迪定理

米迪定理說明如果将${\displaystyle {\frac {a}{p}}}$化为b进制小数（其中p为质数，a是小于p的正整数），且小数的循环节长度是偶数[注 1]，则有以下性质：

• 若將這個分數用循環小數寫成${\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}a_{n+1}...a_{2n}}}}$，则
• ${\displaystyle a_{i}+a_{i+n}=b-1}$
• ${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}+a_{n+1}\dots a_{2n}=b^{n}-1.}$

這個定理還可再推廣为广义米迪定理：若把长度2n的循环节划分为长度为k的${\displaystyle {\frac {2n}{k}}}$个组，即${\displaystyle 0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{k}a_{k+1}\cdots a_{2k}\cdots a_{2n-k+1}a_{2n-k+2}\cdots a_{2n}}}}$，则${\displaystyle a_{1}a_{2}...a_{k}+a_{k+1}a_{k+2}...a_{2k}+...+a_{2n-k+1}a_{l-k+2}...a_{2n}}$是${\displaystyle b^{k}-1}$的倍數。

例

${\displaystyle {\frac {1}{17}}=0.{\overline {0588235294117647}}}$（10进制）

循环节长度是16，是偶数，可应用米迪定理。

• 0+9=10-1，5+4=10-1，8+1=10-1……
• ${\displaystyle 05882352+94117647=10^{8}-1}$

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {052631578947368421}}}$（10进制）

循环节长度是18，是偶数，可应用米迪定理。

• 0+9=10-1，5+4=10-1，2+7=10-1……
• ${\displaystyle 052631578+947368421=10^{9}-1}$
• ${\displaystyle 052631+578947+368421=10^{6}-1}$（广义米迪定理，k=6）
• ${\displaystyle 052+631+578+947+368+421=2997=3\times (10^{3}-1)}$（广义米迪定理，k=3）

${\displaystyle {\frac {1}{19}}=0.{\overline {032745}}_{8}}$

• ${\displaystyle 032_{8}+745_{8}=777_{8}}$
• ${\displaystyle 03_{8}+27_{8}+45_{8}=77_{8}.}$

定理的证明

米迪定理可以用群论中的结果来证明。然而，也可以用算术和同余来证明米迪定理：

设p为素数，a/p是0与1之间的分数。假设在b进制中，a/p的展开式的周期为l，所以：

${\displaystyle {\frac {a}{p}}=[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=[a_{1}a_{2}\dots a_{l}.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}b^{l}=N+[0.{\overline {a_{1}a_{2}\dots a_{l}}}]_{b}=N+{\frac {a}{p}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{p}}={\frac {N}{b^{l}-1}}}$

其中N是在b进制中的展开式为a₁a₂...a_l的整数。

因为${\displaystyle {\frac {a}{p}}(b^{l}-1)=N}$且N为整数，所以${\displaystyle b^{l}-1}$必为p的倍数。另外，对于任何小于l的n，b^n−1都不是p的倍数，否则在b进制中a/p的周期将小于l，这是不可能的。

现在，假设l=hk。那么b^l−1是b^k − 1的倍数。设b^l − 1 = m(b^k − 1)，因此：

${\displaystyle {\frac {a}{p}}={\frac {N}{m(b^{k}-1)}}.}$

但b^l−1是p的倍数；b^k−1不是p的倍数（因为k小于l）；且p是素数；因此m一定是p的倍数，且

${\displaystyle {\frac {am}{p}}={\frac {N}{b^{k}-1}}}$

是整数。也就是说：

${\displaystyle N\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}.}$

现在，把a₁a₂...a_l分成h个长度为k的部分，并设它们在b进制中表示N₀...N_h − 1，所以：

${\displaystyle N_{h-1}=[a_{1}\dots a_{k}]_{b}}$

${\displaystyle N_{h-2}=[a_{k+1}\dots a_{2k}]_{b}}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle .}$

${\displaystyle N_{0}=[a_{l-k+1}\dots a_{l}]_{b}}$

为了证明b进制中广义的米迪定理，我们必须证明h个整数N_i的和是b^k − 1的倍数。

由于b^k被b^k−1除余1，任何b^k的幂被b^k − 1除也余1。因此：

${\displaystyle N=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}b^{ik}=\sum _{i=0}^{h-1}N_{i}(b^{k})^{i}}$

${\displaystyle \Rightarrow N\equiv \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}{\pmod {b^{k}-1}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \sum _{i=0}^{h-1}N_{i}\equiv 0{\pmod {b^{k}-1}}}$

这就证明了b进制中广义的米迪定理。

为了证明原先的米迪定理，取h = 2的特殊情况。注意N₀和N₁在b进制中都由k个数字表示，所以都满足

${\displaystyle 0\leq N_{i}\leq b^{k}-1.}$

N₀和N₁不能都等于0（否则a/p = 0），也不能都等于b^k − 1（否则a/p = 1），因此：

${\displaystyle 0<N_{0}+N_{1}<2(b^{k}-1)}$

由于N₀ + N₁是b^k − 1的倍数，所以有：

${\displaystyle N_{0}+N_{1}=b^{k}-1.}$

参考资料

1. 有些质数的循环节长度是奇数，如3、31。

William G. Leavitt. A THEOREM ON REPEATING DECIMALS. The American Mathematical Monthly. 1967年6月, 74 (6): 669–673 [2014-12-29]. （原始内容存档于2018-07-23）. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Midy's Theorem. MathWorld.