在数学 中,特别是在算子理论 和C*-代数 理论中,连续函数演算 是一种允许将连续函数 作用于C*-代数中的正规元 的函数演算 。
在进阶的理论中,这种函数演算的应用非常自然,以至于往往它甚至不会被提及。毫不夸张地说,连续函数演算将C*-代数与更一般的巴拿赫代数 区分了开来,对于后者只能定义全纯函数演算 。
动机
对于巴拿赫代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的成员
a
{\displaystyle a}
,若要将其谱
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上的多项式函数演算 推广到谱上的连续函数,似乎有一个明显的思路:依照魏尔施特拉斯逼近定理 用多项式来逼近连续函数,然后将多项式中的数换成
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中成员
a
{\displaystyle a}
,再证明这些
a
{\displaystyle a}
的多项式序列 收敛为
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中元素。
谱集
σ σ -->
(
a
)
⊂ ⊂ -->
C
{\displaystyle \sigma (a)\subset \mathbb {C} }
上的连续函数由
z
{\displaystyle z}
和
z
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {z}}}
的形如
p
(
z
,
z
¯ ¯ -->
)
=
∑ ∑ -->
k
,
l
=
0
N
c
k
,
l
z
k
z
¯ ¯ -->
l
(
c
k
,
l
∈ ∈ -->
C
)
{\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}
的多项式来逼近,其中
z
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {z}}}
表示
z
{\displaystyle z}
的复共轭 ,而复共轭是复数 上的一个對合 。在将
z
{\displaystyle z}
替换为
a
{\displaystyle a}
时,为使
z
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {z}}}
也有对应,须考虑
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
为巴拿赫*-代数 ,即配备了一个对合运算
∗ ∗ -->
{\displaystyle *}
的巴拿赫代数,这时
z
¯ ¯ -->
{\displaystyle {\overline {z}}}
就被替换为
a
∗ ∗ -->
{\displaystyle a^{*}}
。由于多项式环
C
[
z
,
z
¯ ¯ -->
]
{\displaystyle \mathbb {C} [z,{\overline {z}}]}
是交换环 ,为得到一个
C
[
z
,
z
¯ ¯ -->
]
→ → -->
A
{\displaystyle {\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}}
的代數同態 ,须限制在
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的正规元(即满足
a
∗ ∗ -->
a
=
a
a
∗ ∗ -->
{\displaystyle a^{*}a=aa^{*}}
的成员)上。
须保证:若多项式序列
(
p
n
(
z
,
z
¯ ¯ -->
)
)
n
{\displaystyle (p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}}
在
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上一致收斂 于一连续函数
f
{\displaystyle f}
,则
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
上的序列
(
p
n
(
a
,
a
∗ ∗ -->
)
)
n
{\displaystyle (p_{n}(a,a^{*}))_{n}}
收敛于
f
(
a
)
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}}
。对这个收敛性的问题进行细致分析之后,就会发现有必要采用C*-代数。这些考量最终将导向所谓的连续函数演算。
定义
由于*-同态 性质,有以下对任意函数
f
,
g
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
与标量
λ λ -->
,
μ μ -->
∈ ∈ -->
C
{\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {C} }
有效的计算规则:
(
λ λ -->
f
+
μ μ -->
g
)
(
a
)
=
λ λ -->
f
(
a
)
+
μ μ -->
g
(
a
)
{\displaystyle (\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad }
(线性)
(
f
⋅ ⋅ -->
g
)
(
a
)
=
f
(
a
)
⋅ ⋅ -->
g
(
a
)
{\displaystyle (f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)}
(乘法)
f
¯ ¯ -->
(
a
)
=
: : -->
(
f
∗ ∗ -->
)
(
a
)
=
(
f
(
a
)
)
∗ ∗ -->
{\displaystyle {\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{*})(a)=(f(a))^{*}}
(对合)
因此,可以同寻常连续函数那样看待连续函数在正规元上的推广,它的上述代数运算性质同寻常的连续复函数情况没有区别。
对于单位元 的要求并不是一个强的限制。如果需要,可以添加一个单位元 ,得到一个扩大了的C*-代数
A
1
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}
。对于
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
和满足
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
的
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
,有
0
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle 0\in \sigma (a)}
和
f
(
a
)
∈ ∈ -->
A
⊂ ⊂ -->
A
1
{\displaystyle f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}}
。
下面给出连续函数演算的存在性和唯一性的证明概要:
在泛函分析 中,常对正规算子
T
{\displaystyle T}
的连续函数演算感兴趣,即
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
上的有界算子 所构成的C*-代数
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
的情况。在文献中,通常仅对此情况的自伴算子 的连续函数演算作了证明。在这种情况下,证明不需要用到盖尔范德表示。
性质
到子代数的等距同构
连续函数演算
Φ Φ -->
a
{\displaystyle \Phi _{a}}
是到
a
{\displaystyle a}
和
e
{\displaystyle e}
所生成的C*-子代数
C
∗ ∗ -->
(
a
,
e
)
{\displaystyle C^{*}(a,e)}
的等距同构 ,即:
∀ ∀ -->
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
,
‖
Φ Φ -->
a
(
f
)
‖
=
‖
f
‖
σ σ -->
(
a
)
.
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.}
于是
Φ Φ -->
a
{\displaystyle \Phi _{a}}
显然是连续的。
Φ Φ -->
a
(
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
)
=
C
∗ ∗ -->
(
a
,
e
)
⊆ ⊆ -->
A
,
{\displaystyle \Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},}
也就是说
C
∗ ∗ -->
(
a
,
e
)
{\displaystyle C^{*}(a,e)}
是连续函数演算的值域。
由于
a
{\displaystyle a}
是
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的正规元,由
a
{\displaystyle a}
和
e
{\displaystyle e}
生成的C*-子代数是一个交换代数 。特别地,
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
也是一个正规元,且函数演算的所有成员间都对易 。
与其他函数演算的关系
全纯函数演算 可无歧义地扩张 为连续函数演算。因此,连续函数演算在多项式
p
(
z
,
z
¯ ¯ -->
)
{\displaystyle p(z,{\overline {z}})}
上重合于多项式函数演算:
∀ ∀ -->
c
k
,
l
∈ ∈ -->
C
,
Φ Φ -->
a
(
p
(
z
,
z
¯ ¯ -->
)
)
=
p
(
a
,
a
∗ ∗ -->
)
=
∑ ∑ -->
k
,
l
=
0
N
c
k
,
l
a
k
(
a
∗ ∗ -->
)
l
,
{\displaystyle \forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},}
其中
p
(
z
,
z
¯ ¯ -->
)
=
∑ ∑ -->
k
,
l
=
0
N
c
k
,
l
z
k
z
¯ ¯ -->
l
{\displaystyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}}
。
对于
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上一致收敛于函数
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
的函数序列
f
n
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
,
f
n
(
a
)
{\displaystyle f_{n}(a)}
收敛于
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
。对于
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上绝对 且一致 地收敛的幂级数
f
(
z
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
c
n
z
n
{\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}
,就有
f
(
a
)
=
∑ ∑ -->
n
=
0
∞ ∞ -->
c
n
a
n
{\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}
。
反函数的连续函数演算
若有
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
和
g
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
f
(
a
)
)
)
{\displaystyle g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))}
,那么它们的函数演算的复合 满足
(
g
∘ ∘ -->
f
)
(
a
)
=
g
(
f
(
a
)
)
{\displaystyle (g\circ f)(a)=g(f(a))}
。
设有两个正规元
a
,
b
∈ ∈ -->
A
N
{\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{N}}
满足
f
(
a
)
=
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)=f(b)}
,且无论限制在
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
还是
σ σ -->
(
b
)
{\displaystyle \sigma (b)}
上时
g
{\displaystyle g}
都是
f
{\displaystyle f}
的反函数 ,那么必然有
a
=
b
{\displaystyle a=b}
,因为
a
=
(
f
∘ ∘ -->
g
)
(
a
)
=
f
(
g
(
a
)
)
=
f
(
g
(
b
)
)
=
(
f
∘ ∘ -->
g
)
(
b
)
=
b
{\displaystyle a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b}
。
谱映射定理
谱映射定理
∀ ∀ -->
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
,
σ σ -->
(
f
(
a
)
)
=
f
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))}
也成立。
对于
b
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}
,若有
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
,那么也有
∀ ∀ -->
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
,
f
(
a
)
b
=
b
f
(
a
)
.
{\displaystyle \forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).}
也就是说若
b
{\displaystyle b}
与
a
{\displaystyle a}
对易,则它也与
a
{\displaystyle a}
的在连续函数下的像
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
对易。
与*-同态相容
设
Ψ Ψ -->
: : -->
A
→ → -->
B
{\displaystyle \Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}
是C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
和
B
{\displaystyle {\mathcal {B}}}
间的保单位元 的*-同态,那么
Ψ Ψ -->
{\displaystyle \Psi }
与连续函数演算间的复合是对易的。也就是说:
∀ ∀ -->
f
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
,
Ψ Ψ -->
(
f
(
a
)
)
=
f
(
Ψ Ψ -->
(
a
)
)
.
{\displaystyle \forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).}
特别地,连续函数演算与盖尔范德表示是对易的。
函数性质与像的性质间的关系
利用谱映射定理,具有某些性质的函数可以直接关联到C*-代数成员的某些性质:
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是可逆元 当且仅当
f
{\displaystyle f}
在
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
上没有零点 。于是有
f
(
a
)
− − -->
1
=
1
f
(
a
)
{\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}
。
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是自伴元 当且仅当
f
{\displaystyle f}
是实值函数,也就是
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
{
0
,
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}
说
f
(
σ σ -->
(
a
)
)
⊆ ⊆ -->
R
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R} }
.
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是正元 (
f
(
a
)
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle f(a)\geq 0}
)当且仅当
f
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle f\geq 0}
,也就是说
f
(
σ σ -->
(
a
)
)
⊆ ⊆ -->
[
0
,
∞ ∞ -->
)
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )}
.
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是幺正元 ,若
f
{\displaystyle f}
的值落在复单位圆 中。也就是说,
f
(
σ σ -->
(
a
)
)
⊆ ⊆ -->
T
=
{
λ λ -->
∈ ∈ -->
C
∣ ∣ -->
‖
λ λ -->
‖
=
1
}
.
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}
f
(
a
)
{\displaystyle f(a)}
是一个投影 ,若
f
{\displaystyle f}
仅取值
0
{\displaystyle 0}
或
1
{\displaystyle 1}
,也就是说
f
(
σ σ -->
(
a
)
)
⊆ ⊆ -->
{
0
,
1
}
{\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}}
.
这些断言的基础是关于特定元素的谱的结论,这些结论会在§ 应用 一节中展示。
有界算子代数的谱
在
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是希尔伯特空间
H
{\displaystyle H}
上的有界算子所构C*-代数
B
(
H
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(H)}
的特殊情况下,正规算子
T
∈ ∈ -->
B
(
H
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {B}}(H)}
的对应特征值
λ λ -->
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
T
)
{\displaystyle \lambda \in \sigma (T)}
的特征向量
v
∈ ∈ -->
H
{\displaystyle v\in H}
也将是算子
f
(
T
)
{\displaystyle f(T)}
关于特征值
f
(
λ λ -->
)
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
f
(
T
)
)
{\displaystyle f(\lambda )\in \sigma (f(T))}
的特征向量。设
T
v
=
λ λ -->
v
{\displaystyle Tv=\lambda v}
, 则
∀ ∀ -->
f
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
T
)
,
f
(
T
)
v
=
f
(
λ λ -->
)
v
{\displaystyle \forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v}
。
应用
下面给出连续函数演算的众多应用中一些典型且非常简单的例子。
谱
设
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是一个C*-代数而
a
∈ ∈ -->
A
N
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}
为其中一个正规元,则对于谱
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
有以下结论:
a
{\displaystyle a}
是自伴元当且仅当
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
R
.
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .}
a
{\displaystyle a}
是幺正元当且仅当
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
T
=
{
λ λ -->
∈ ∈ -->
C
∣ ∣ -->
‖
λ λ -->
‖
=
1
}
.
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.}
a
{\displaystyle a}
是一个投影当且仅当
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
{
0
,
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}
.
证明
正规元
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
的连续函数演算
Φ Φ -->
a
{\displaystyle \Phi _{a}}
是一个保单位元的*-同态,因此若
Id
∈ ∈ -->
C
(
σ σ -->
(
a
)
)
{\displaystyle \operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))}
是自伴的/幺正的/投影,则
a
{\displaystyle a}
也相应地成为自伴元/幺正元/投影。
Id
{\displaystyle \operatorname {Id} }
自伴的充要条件是
∀ ∀ -->
z
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
a
)
,
z
=
Id
(
z
)
=
Id
¯ ¯ -->
(
z
)
=
z
¯ ¯ -->
,
{\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},}
即
σ σ -->
(
a
)
{\displaystyle \sigma (a)}
是实的。
Id
{\displaystyle {\text{Id}}}
幺正的充要条件是
∀ ∀ -->
z
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
a
)
,
1
=
Id
(
z
)
Id
¯ ¯ -->
(
z
)
=
z
z
¯ ¯ -->
=
|
z
|
2
,
{\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},}
即
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
{
λ λ -->
∈ ∈ -->
C
|
‖
λ λ -->
‖
=
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}}
。
Id
{\displaystyle {\text{Id}}}
成为投影的充要条件是
(
Id
-->
(
z
)
)
2
=
Id
(
z
)
=
Id
-->
(
z
)
,
¯ ¯ -->
{\displaystyle (\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}}
即
∀ ∀ -->
z
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
a
)
,
z
2
=
z
=
z
¯ ¯ -->
,
{\displaystyle \forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},}
或者说
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
{
0
,
1
}
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}
。
开方
设
a
{\displaystyle a}
是 C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的正元,那么对于每一个
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
存在一个唯一确定的正元
b
∈ ∈ -->
A
+
{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}
满足
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
,即唯一的
n
{\displaystyle n}
次方根。
若
a
∈ ∈ -->
A
s
a
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}
是自伴元,则至少有:对于每个奇数
n
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
,存在唯一确定的自伴元
b
∈ ∈ -->
A
s
a
{\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{sa}}
满足
b
n
=
a
{\displaystyle b^{n}=a}
。
类似地,对于C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中正元
a
{\displaystyle a}
和任意
α α -->
≥ ≥ -->
0
{\displaystyle \alpha \geq 0}
,
a
α α -->
{\displaystyle a^{\alpha }}
唯一定义了一个
C
∗ ∗ -->
(
a
)
{\displaystyle C^{*}(a)}
中的正元,并满足
∀ ∀ -->
α α -->
,
β β -->
≥ ≥ -->
0
,
a
α α -->
a
β β -->
=
a
α α -->
+
β β -->
.
{\displaystyle \forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.}
若
a
{\displaystyle a}
是可逆元,则还可以推广到取负值的
α α -->
{\displaystyle \alpha }
。
绝对值
若
a
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}
且
a
∗ ∗ -->
a
{\displaystyle a^{*}a}
是正元,那么绝对值可由连续函数演算定义为
|
a
|
=
a
∗ ∗ -->
a
{\displaystyle |a|={\sqrt {a^{*}a}}}
,因为它在正实数上连续。
设
a
{\displaystyle a}
是C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的自伴元,则存在正元
a
+
,
a
− − -->
∈ ∈ -->
A
+
{\displaystyle a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}}
,使得
a
=
a
+
− − -->
a
− − -->
{\displaystyle a=a_{+}-a_{-}}
和
a
+
a
− − -->
=
a
− − -->
a
+
=
0
{\displaystyle a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0}
成立。
a
+
{\displaystyle a_{+}}
和
a
− − -->
{\displaystyle a_{-}}
也被称为正部和负部 。此外还有
|
a
|
=
a
+
+
a
− − -->
{\displaystyle |a|=a_{+}+a_{-}}
。
证明
函数
f
+
(
z
)
=
max
(
z
,
0
)
{\displaystyle f_{+}(z)=\max(z,0)}
和
f
− − -->
(
z
)
=
− − -->
min
(
z
,
0
)
{\displaystyle f_{-}(z)=-\min(z,0)}
是
σ σ -->
(
a
)
⊆ ⊆ -->
R
{\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {R} }
上的连续函数且满足
Id
-->
(
z
)
=
z
=
f
+
(
z
)
− − -->
f
− − -->
(
z
)
,
{\displaystyle \operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),}
f
+
(
z
)
f
− − -->
(
z
)
=
f
− − -->
(
z
)
f
+
(
z
)
=
0.
{\displaystyle f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.}
设
a
+
=
f
+
(
a
)
,
a
− − -->
=
f
− − -->
(
a
)
{\displaystyle a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)}
,由谱映射定理可知
a
+
{\displaystyle a_{+}}
和
a
− − -->
{\displaystyle a_{-}}
是正元,且有:
a
=
Id
-->
(
a
)
=
(
f
+
− − -->
f
− − -->
)
(
a
)
=
f
+
(
a
)
− − -->
f
− − -->
(
a
)
=
a
+
− − -->
a
− − -->
,
{\displaystyle a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},}
a
+
a
− − -->
=
f
+
(
a
)
f
− − -->
(
a
)
=
(
f
+
f
− − -->
)
(
a
)
=
0
=
(
f
− − -->
f
+
)
(
a
)
=
f
− − -->
(
a
)
f
+
(
a
)
=
a
− − -->
a
+
.
{\displaystyle a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.}
此外,
f
+
(
z
)
+
f
− − -->
(
z
)
=
|
z
|
=
z
∗ ∗ -->
z
=
z
2
,
{\displaystyle f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},}
故
a
+
+
a
− − -->
=
f
+
(
a
)
+
f
− − -->
(
a
)
=
|
a
|
=
a
∗ ∗ -->
a
=
a
2
.
{\displaystyle a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.}
幺正元
若
a
{\displaystyle a}
是有单位元
e
{\displaystyle e}
的C*-代数
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
中的自伴元,那么
u
=
e
i
a
{\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}
是幺正元,其中
i
{\displaystyle \mathrm {i} }
表示虚数单位 。反过来,若
u
∈ ∈ -->
A
U
{\displaystyle u\in {\mathcal {A}}_{U}}
是一个幺正元且其谱是复单位圆的真子集 (即
σ σ -->
(
u
)
⊊ ⊊ -->
T
{\displaystyle \sigma (u)\subsetneq \mathbb {T} }
),那么存在一个自伴元
a
∈ ∈ -->
A
s
a
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{sa}}
满足
u
=
e
i
a
{\displaystyle u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}}
。
谱分解定理
设
A
{\displaystyle {\mathcal {A}}}
是一个有单位元的C*-代数,其中有一个正规元
a
∈ ∈ -->
A
N
{\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}
。假设谱由
n
{\displaystyle n}
个两两不相交的 闭 子集
σ σ -->
k
⊂ ⊂ -->
C
,
(
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
n
)
{\displaystyle \sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)}
构成,也就是说
σ σ -->
(
a
)
=
σ σ -->
1
⊔ ⊔ -->
⋯ ⋯ -->
⊔ ⊔ -->
σ σ -->
n
{\displaystyle \sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}}
。那么就存在投影
p
1
,
… … -->
,
p
n
∈ ∈ -->
A
{\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}}
,使得下面的命题对任意
j
≥ ≥ -->
1
,
k
≤ ≤ -->
n
{\displaystyle j\geq 1,k\leq n}
都成立:
投影的谱满足
σ σ -->
(
p
k
)
=
σ σ -->
k
.
{\displaystyle \sigma (p_{k})=\sigma _{k}.}
投影与
a
{\displaystyle a}
对易,即
p
k
a
=
a
p
k
.
{\displaystyle p_{k}a=ap_{k}.}
投影是正交 的,即
p
j
p
k
=
δ δ -->
j
k
p
k
.
{\displaystyle p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.}
投影之和为单位元,即
∑ ∑ -->
k
=
1
n
p
k
=
e
.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.}
特别是,有分解
a
=
∑ ∑ -->
k
=
1
n
a
k
{\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}
,其中
∀ ∀ -->
1
≤ ≤ -->
k
≤ ≤ -->
n
,
σ σ -->
(
a
k
)
=
σ σ -->
k
.
{\displaystyle \forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.}
注释
参考资料
Blackadar, Bruce. Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2006. ISBN 3-540-28486-9 .
Deitmar, Anton; Echterhoff, Siegfried. Principles of Harmonic Analysis. Second Edition.. Springer. 2014. ISBN 978-3-319-05791-0 .
Dixmier, Jacques. Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 (法语) .
Dixmier, Jacques. C*-algebras . 由Jellett, Francis翻译. Amsterdam/New York/Oxford: North-Holland. 1977. ISBN 0-7204-0762-1 . English translation of Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars. 1969 (法语) .
Kaballo, Winfried. Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie.. Berlin/Heidelberg: Springer. 2014. ISBN 978-3-642-37794-5 (德语) .
Kadison, Richard V.; Ringrose, John R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory.. New York/London: Academic Press. 1983. ISBN 0-12-393301-3 .
Kaniuth, Eberhard. A Course in Commutative Banach Algebras. . Springer. 2009. ISBN 978-0-387-72475-1 .
Schmüdgen, Konrad. Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space.. Springer. 2012. ISBN 978-94-007-4752-4 .
Reed, Michael; Simon, Barry. Methods of modern mathematical physics. vol. 1. Functional analysis. San Diego, CA: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-585050-6 .
Takesaki, Masamichi. Theory of Operator Algebras I.. Heidelberg/Berlin: Springer. 1979. ISBN 3-540-90391-7 .
外部链接