投影的严格定义是:一个从向量空间V射到它自身的线性变换 P 是投影,当且仅当。另外一个定义则较为直观:P 是投影,当且仅当存在V的一个子空间W,使得 P 将所有V中的元素都映射到W中,而且 P 在W上是恒等变换。用数学的语言描述,就是:
,使得,并且
简单例子
在现实生活中,阳光在地面上留下各种影子。这就是投影变换最直白的例子。可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向(比如说垂直于地面的角度)照射而来,大地是严格的平面,那么,对于任意一个物体(比如说一只正在飞行的鸟),它的位置可以用向量 (x, y, z) 来表示,而这只鸟在阳光下对应着一个影子,也就是 (x, y, 0)。这样的一个变换就是一个投影变换。它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。这是在 x-y 平面上的投影。这个变换可以用矩阵表示为
因为对任意一个向量 (x, y, z) ,这个矩阵的作用是:
注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话(也就是说它的z分量等于0),那么经过变换 P 后不会有改变。也就是说这个变换在子空间 x-y 平面上是恒等变换,这证明了 P 的确是一个投影。
另外,
所以 P = P2,这也证明 P 的确是投影。
基本性质
这里假定投影所在的向量空间W是有限维的(因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题)。假设子空间U与V分别为 P 的像空间与零空间(也叫做核)。那么按照定义,有如下的基本性质:
斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量 u1, …, uk 形成了投影的值域的基,并把这些向量组合到 n×k 矩阵 A 中。值域和零空间是互补空间,所以零空间有维度 n − k。它推出零空间的正交补有维度 k。设 v1, …, vk 形成这个投影的零空间的正交补的基,并把这些向量组合到矩阵 B 中。则投影定义为
当底层向量空间 X 是(不必需有限维)赋范向量空间,需要考虑无关于有限维情况的分析问题,假定现在 X 是巴拿赫空间。
上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的 X 的直和分解成补子空间仍指定一个投影,反之亦然。如果 X 是直和 X = U ⊕ V,则定义自 P(u + v) = u 的算子仍是有值域 U 和核 V 的投影。明显的也 P2 = P。反过来说,如果 P 是在 X 上的投影,就是说 P2 = P,则很容易验证 (I − P)2 = (I − P)。换句话说,(I − P) 也是投影。关系 I = P + (I − P) 蕴涵了 X 是直和 Ran(P) ⊕ Ran(I − P)。
但是相对于有限维情况,投影一般不必须是连续的。如果 X 的子空间 U 在规范拓扑下不闭合,则到 U 上的投影是不连续的。换句话说,连续投影 P 的值域一定是闭合子空间。进一步的,连续投影(事实上,一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影 P 把 X 分解成两个互补的闭合子空间: X = Ran(P) ⊕ Ker(P) = Ran(P) ⊕ Ran(I − P)。
反命题在有额外假定条件下也成立。假设 U 是 X 的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间 V 使得 X = U ⊕ V,则有值域 U 和核 V 的投影 P 是连续的。这是从闭合图定理推出的。假定 xn → x 而 Pxn → y。需要证明 Px = y。因为 U 是闭合的且 {Pxn} ⊂ U, y 位于 U 中,就是说 Py = y。还有 xn − Pxn = (I − P)xn → x − y。因为 V 是闭合的且 {(I − P)xn} ⊂ V,我们有了 x − y ∈ V,就是说 P(x − y) = Px − Py = Px − y = 0,这证明了这个断言。
上述论证利用 U 和 V 都是闭合的假定。一般的说,给定一个闭合子空间 U, 不需要存在一个互补的闭合子空间 V,尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间,一维子空间总是有闭合的补子空间。这是 哈恩-巴拿赫定理的直接推论。设 U 是 u 的线性扩张。通过哈恩-巴拿赫定理,存在一个有界线性泛函 φ,使得 φ(u) = 1。算子 P(x) = φ(x)u 满足 P2 = P,就是说它是个投影。φ 的有界性蕴涵了 P 的连续性,因此 Ker(P) = Ran(I − P) 是 U 的闭合补子空间。