算子拓扑

泛函分析中,在巴拿赫空间X上有几种标准拓扑被赋予有界线性算子代数

概述

为巴拿赫空间X上的线性算子序列。考虑这样的陈述:收敛到X上某算子T,这可能有歧义:

  • ,即算子范数的上确界,其中xX中的单位球面上)收敛到0,就称一致算子拓扑中。
  • ,就称强算子拓扑中。
  • 假设X弱拓扑中。这是说,对X上所有连续线性泛函,称弱算子拓扑中。

B(H)上的拓扑列表

有界算子空间上的拓扑关系图

除上述拓扑外,上还可定义许多拓扑,大多最初只是为希尔伯特空间时才被定义,尽管很多时候都有适当的推广。 下列拓扑都是局部凸的,即由一族半范数定义。

在数学分析中,若拓扑有很多开集,则称强拓扑;若有较少的开集,称为弱拓扑。因此,相应的收敛模式分别是强收敛和弱收敛(拓扑学中可能有相反的含义,或改称细拓扑与粗拓扑)。 右图是这些关系的简单总结,箭头从强指向弱。

H是希尔伯特空间,则希尔伯特空间有(唯一)预对偶,由迹类算子组成,其对偶是。预对偶中,w为正的半范数定义为

B是向量空间A上线性映射的向量空间,则被定义为A上最弱的拓扑,使B中所有元素都连续。

  • 范数拓扑一致拓扑一致算子拓扑定义为上通常的范数||x||,比下面所有拓扑都强。
  • 弱(巴拿赫空间)拓扑,即使对偶的所有元素都连续的最弱拓扑,是巴拿赫空间上的弱拓扑。它比超弱、弱算子拓扑要强(注意:弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑,但它们是不同的)。
  • 麦基拓扑Arens-麦基拓扑上对偶为的最强的局部凸拓扑,也是上的一致收敛拓扑,-紧凸子集。比下面所有拓扑都强。
  • σ-强*拓扑超强*拓扑是比超强拓扑更强的最弱的拓扑,其伴随映射连续,由的正元素w的半范数族定义。比下面所有拓扑都强。
  • σ强拓扑超强拓扑最强拓扑最强算子拓扑由半范数族定义,w的正元素。除了强*拓扑,它比下面所有拓扑都强。注意:虽然叫“最强拓扑”,但弱于范数拓扑。
  • σ弱拓扑超弱拓扑*算子拓扑弱*拓扑弱拓扑拓扑由半范数|(w, x)|定义,其中w的元素。比弱算子拓扑强(注意:弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑,但它们是不同的)。
  • * 算子拓扑*拓扑由半范数||x(h)||、||x*(h)||定义,其中h属于H。比强、弱算子拓扑都强。
  • 强算子拓扑强拓扑由半范数||x(h)||定义,其中h属于H。比弱算子拓扑强。
  • 弱算子拓扑弱拓扑由半范数|(x(h1), h2)|定义,其中所有h都属于H(注意:弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑,但它们是不同的)。

拓扑之间的关系

弱、强、强*(算子)拓扑的上的连续线性泛函是相同的,都是线性泛函的有限线性组合。超弱、超强、超强*、Arens-麦基拓扑的上的连续线性泛函是相同的,都是预对偶的元素。

由定义,范数拓扑中的连续线性泛函与弱巴拿赫空间拓扑中的相同。这对偶是个相当大的空间,其中有很多病态元素。

的规范有界集上,弱(算子)、超强拓扑是重合的。比如,这可以从巴拿赫-阿劳格鲁定理看出来。出于基本相同的原因,超强拓扑与的任何(规范)有界子集上的强拓扑相同。 Arens-麦基、超强*、强*拓扑也如此。

在局部凸空间中,凸集的封闭性可由连续线性泛函来表征。因此,对的凸子集 K,在超强*、超强、超弱拓扑中封闭的条件都等价,且也等价于:在强*、强、弱(算子)拓扑中,K与半径为r的闭球有闭交集。 范数拓扑是可度量化的,其他的则不行。实际上,它们都不是第一可数空间

H可分时,限制在单位球(或任何范数有界子集)上的所有拓扑都可度量化。

使用拓扑

最常用的拓扑是范数拓扑、强、弱算子拓扑。弱算子拓扑对关于紧性证明非常好用,因为据巴拿赫-阿劳格鲁定理,单位球是紧的。 范数拓扑是基本拓扑,因为它使称为巴拿赫空间,但它对很多目的来说太强了。例如在这拓扑中是不可分的。 强算子拓扑可能是最常用的拓扑。

超弱、超强拓扑比弱、强算子拓扑的性质更好,但定义也更复杂,所以除非真的需要这更好的性质,否则通常不会使用。例如,弱、强算子拓扑中的对偶空间太小,没有什么解析内容物。

强算子、超强拓扑中,伴随映射不连续,而强*、超强*拓扑经过修改后则可使伴随映射连续。它们并不常用。

Arens–麦基拓扑和弱巴拿赫空间拓扑相对少用。

总之,上的3个基本拓扑是范数拓扑、超强拓扑和超弱拓扑。强、弱算子拓扑分别作为后两者的便捷近似,使用广泛。其他拓扑则较为少见。

另见

参考文献

  • Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
  • Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X