对称集

在數學中，當一個群G的非空子集S包含了其所有元素的反元素時，此非空子集S被稱為對稱集。

例如，乘法群的非空子集S满足

${\displaystyle S=S^{-1}}$

其中${\displaystyle S^{-1}=\{x^{-1}:x\in S\}}$，则S被称为是对称的(英語：symmetric)；

加法群的非空子集S满足

${\displaystyle S=-S}$

其中${\displaystyle -S=\{-x:x\in S\}}$，则S被称为是对称的。

如果S是向量空间的子集，且它相对于向量空间的加法群组结构是对称的，则S被称为是对称的；也就是说满足${\displaystyle S=-S=\{-x:x\in S\}}$。

例子

• 在实数集R中，对称集的例子如满足${\displaystyle k>0}$的${\displaystyle (-k,k)}$型区间，以及整数集Z和点集${\displaystyle \{-1,1\}}$。
• 向量空间的任意向量子空间都是对称集。
• 如果S是一个群的任意子集，则${\displaystyle SS^{-1}}$和${\displaystyle S^{-1}S}$是对称集。

参考文献

• R. Cristescu, Topological vector spaces, Noordhoff International Publishing, 1977.
• W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Book Company, 1973.

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