极化恒等式

极化恒等式（英语：Polarization identity）是一个用范数来计算两个向量的内积的公式。

公式

设${\displaystyle x,y}$是复Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}+i{{\left\|x+iy\right\|}^{2}}-i{{\left\|x-iy\right\|}^{2}}\right)}$。

若${\displaystyle x,y}$是实Hilbert空间中的向量，则内积可表示为：

${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}$。

推导

设有两个实Hilbert空间中的向量${\displaystyle x,y}$，有

${\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2x\cdot y}$

${\displaystyle (x-y)^{2}=x^{2}+y^{2}-2x\cdot y}$

两式相减，得

${\displaystyle 4x\cdot y=(x+y)^{2}-(x-y)^{2}}$

所以

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{4}}[(x+y)^{2}-(x-y)^{2}]}$

即
${\displaystyle \left\langle x,y\right\rangle ={\frac {1}{4}}\left({{\left\|x+y\right\|}^{2}}-{{\left\|x-y\right\|}^{2}}\right)}$

参见

• 平行四邊形恆等式

参考文献

程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.7，241