約化群

在數學中，約化群是冪單根為平凡群的代數群。代數環面與半單代數群都是約化群，一般線性群${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$亦然。

「約化」一詞源於下述事實：零特徵域上的約化群的線性表示都是完全可約的。

約化李群

對於李群${\displaystyle G}$，以下陳述等價

1. ${\displaystyle G}$是某個${\displaystyle \mathbb {R} }$-約化群的覆疊空間（帶有相應的李群結構）。
2. 其李代數${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$同構於某個${\displaystyle \mathbb {R} }$-約化群的李代數。
3. 其李代數${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$可寫成一個半單李代數與一個交換李代數的直和。
4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\oplus Z({\mathfrak {g}})}$

滿足以上任一條件的李群稱為約化李群，有時我們也會加上條件${\displaystyle (G:G^{0})<\infty }$。

若一李代數滿足條件二至四，稱之為約化李代數，這相當於說該李代數的伴隨表示是完全可約的。但這並不保證所有有限維線性表示都完全可約。

條件一可以延伸到任意局部域上的情形。

分類

約化群可以由根資料分類。利用概形語言，可將約化群的定義延伸到任意基概形${\displaystyle S}$上，並導出類似的分類定理。

參見

• 根資料

文獻

• Armand Borel. Linear Algebraic Groups（2nd ed.）. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.
• A. Borel, J. Tits, Groupes réductifs （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 27 (1965) pp. 55–150; Compléments à l'article «Groupes réductifs». （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41 (1972), p. 253-276
• François Bruhat; Tits, Jacques Groupes réductifs sur un corps local : I. Données radicielles valuées. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publications Mathématiques de l'IHÉS, 41 (1972), p. 5-251 II. Schémas en groupes. Existence d'une donnée radicielle valuée. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publications Mathématiques de l'IHÉS, 60 (1984), p. 5-184
• V.L. Popov, Reductive group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A.L. Onishchik, Lie algebra, reductive, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• T. A. Springer, Reductive groups （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆） ISBN 0-8218-3347-2