根資料

在數學的代數群領域中，根資料（原文為法文donnée radicielle）是一個連通、分裂、可簡約代數群的不變量。對於可簡約代數群，根資料是比根系更精細的不變量，若假設連通性，則它決定了代數群的結構（至多差一個同構）。根資料的定義首見於M. Demazure在SGA III中的闡述，於1970年出版。

定義

根資料是一組資料${\displaystyle (X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })}$，其中：

• ${\displaystyle X,X^{\vee }}$是有限秩自由阿貝爾群，其間有一個配對${\displaystyle \langle ,\rangle :X\times X^{\vee }\rightarrow \mathbf {Z} }$使兩者互為對偶。
• ${\displaystyle \Phi }$是${\displaystyle X}$的有限子集，${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$是${\displaystyle X^{\vee }}$的有限子集，並存在其間的雙射${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$。
• 對任意${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，有${\displaystyle \langle \alpha ,\alpha ^{\vee }\rangle =2}$。
• 對任意${\displaystyle \alpha \in \Phi }$，根鏡射${\displaystyle x\mapsto x-\langle x,\alpha ^{\vee }\rangle \alpha }$導出根資料的自同構（換言之：它將${\displaystyle \Phi }$一一映至${\displaystyle \Phi }$，而在${\displaystyle X^{\vee }}$上導出的對偶映射則將${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$一一映至${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$）。
• 類似地，對任意${\displaystyle \alpha ^{\vee }\in \Phi ^{\vee }}$，餘根鏡射${\displaystyle u\mapsto u-\langle \alpha ,u\rangle \alpha ^{\vee }}$導出根資料的自同構。

${\displaystyle \Phi }$的元素稱作該根資料的根，${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$的元素稱為餘根。

若${\displaystyle \Phi }$不包含任意根的兩倍，則稱此根資料為既約的。

設${\displaystyle X_{0}:=(\Phi ^{\vee })^{\perp }}$。若${\displaystyle X_{0}=\{0\}}$，稱此根資料為半單的，

從根資料到根系

對於根資料${\displaystyle (X,\Phi ,X^{\vee },\Phi ^{\vee })}$，取${\displaystyle Q}$為${\displaystyle \Phi }$在${\displaystyle X}$中生成的子群，並設${\displaystyle V:=Q\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }$；利用對偶性，同樣可定義${\displaystyle V^{\vee }}$。可證明${\displaystyle X_{0}\cap Q=\{0\}}$，${\displaystyle X_{0}+Q}$在${\displaystyle X}$中的指數為有限的；因此${\displaystyle V^{\vee }}$可視為${\displaystyle V}$的對偶空間。可證明${\displaystyle (V,\Phi )}$成為一個根系。

與約化代數群的關係

設${\displaystyle G}$是域${\displaystyle K}$上的約化代數群，並具有在${\displaystyle K}$上分裂的極大環面${\displaystyle T}$。定義相應的根資料${\displaystyle \Phi (T,B)=(X,\Delta ,X_{*},\Delta ^{\vee })}$為

• ${\displaystyle X^{*}:=\mathrm {Hom} (T,\mathbb {G} _{m})}$（極大環面的特徵標）
• ${\displaystyle X_{*}:=\mathrm {Hom} (\mathbb {G} _{m},T)}$（極大環面的餘特徵標，或者說是其中的單參數子群）
• ${\displaystyle \Delta }$是資料${\displaystyle (G,T)}$的根。
• ${\displaystyle \Delta ^{\vee }}$是相應的餘根。

代數封閉域上的連通、約化代數群由其根資料決定。反之，給定任一組根資料，存在與之匹配的連通、約化代數群。根資料比根系及丹金圖精確，因為它不僅刻劃了群的李代數結構，還刻劃了群的中心。

對偶性

給定任一根資料${\displaystyle (X,\Psi ,X^{\vee },\Psi ^{\vee })}$，藉著將${\displaystyle X,X^{\vee }}$對換，將${\displaystyle \Psi ,\Psi ^{\vee }}$對換，可以得到新的根資料，稱為其對偶。

若${\displaystyle G}$是代數封閉域${\displaystyle K}$上的連通、約化代數群，則根資料的對偶決定了複數域 ${\displaystyle \mathbb {C} }$上唯一的連通、約化、分裂代數群^LG，稱為${\displaystyle G}$的郎蘭茲對偶群。

文獻

• M. Demazure, Exp. XXI in SGA 3 vol 3 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• T. A. Springer, Reductive groups （页面存档备份，存于互联网档案馆），in Automorphic forms, representations, and L-functions vol 1 （页面存档备份，存于互联网档案馆） ISBN 0-8218-3347-2