代數群

群论
群
基本概念 子群 · 正规子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直积 · 直和 单群 · 有限群 · 无限群 · 拓扑群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 离散群 有限單群分類 循環群 Zn 交错群 An 李型群 散在群 马蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 扬科群 J1..4 费歇尔群（英语：Fischer group）F22..24 子魔群（英语：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 对称群, Sn 二面体群, Dn 无限群 整数, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 连续群 李群 一般线性群 GL(n) 特殊线性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 酉群 U(n) 特殊酉群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 庞加莱群 无限维群 共形群 微分同胚群 环路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代数群 椭圆曲线 线性代数群（英语：Linear algebraic group） 阿贝尔簇（英语：Abelian variety）
查 论 编

在代數幾何中，一個代數群（或群簇）是一個擁有群結構的代數簇，其簇之乘與逆由正則函數提供。以範疇論描述，一個代數群是一個於代數簇範疇 (數學)中的群對象。

在數學中，域${\displaystyle k}$上的代數群有幾種等價的描述：

• 光滑${\displaystyle k}$-代數簇範疇中的群對象。
• ${\displaystyle \mathrm {Spec} (k)}$上的分離、有限型群概形。
• 一個${\displaystyle k}$-代數簇${\displaystyle G}$配上${\displaystyle e:\mathrm {Spec} (k)\to G}$（單位元）、${\displaystyle m:G\times G\to G}$（群的二元運算）及${\displaystyle i:G\to G}$（逆），使之滿足群論所要求的公理。

可以將代數群設想為李群的代數幾何版本，代數群一樣有切空間及李代數，卻沒有指數映射（某些冪零群除外）；李群可以表成${\displaystyle \mathrm {R} }$-代數群的覆疊空間。

代數群的典型例子包括${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$及橢圓曲線。仿射代數群必可表為${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$的子群，因此又稱線性群。當${\displaystyle k}$是完美域時，Chevalley定理斷言：設${\displaystyle G}$為${\displaystyle k}$-代數群，則存在短正合序列

${\displaystyle 1\to B\to G\to A\to 1}$

在此${\displaystyle B}$是線性群、${\displaystyle A}$是阿貝爾簇。準此，線性群與阿貝爾簇是代數群的基本構件。既非線性亦非阿貝爾簇的典型例子是帶奇點的代數曲線之廣義雅可比簇${\displaystyle \mathrm {Pic} _{X/k}^{0}}$。

參見

• 代數簇

文獻

• Briand Conrad, A Modern Proof of Chevalley's Theorem on Algebraic Groups.
• Humphreys, J.E., Linear algebraic groups, Graduate Texts in Mathematics, No. 21. Springer-Verlag.
• Milne, J. S., Algebraic and Arithmetic Groups.（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Mumford, D., Abelian varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, No. 5.
• Springer, T.A., Linear algebraic groups, 2nd. ed., Progress in Mathematics 9. Boston: Birkhäuser.
• Waterhouse, W.C., Introduction to Affine Group Schemes, Graduate Texts in Mathematics, No. 66. Springer-Verlag.
• Andre Weil, Variétés abéliennes et courbes algébriques. Paris: Hermann & Cie.