標準分數

正態分佈跟標準分數之間的關係。

標準分數（Standard Score，又稱z-score，中文稱為Z-分數或标准分或標準計分[1]）在統計學中是一種無因次值，就是一種純數字標記，是藉由從單一（原始）分數中減去母體的平均值，再依照母體（母集合）的標準差分割成不同的差距，按照z值公式，各個樣本在經過轉換後，通常在正、負五到六之間不等。其算數平均數必為0，標準差必為1。

概念

標準分數與使用在高速篩選分析中的「Z-因數」（z-factor）不同，甚至有時兩者會互相混淆。

其約化過程被稱為「標準化」（standardizing）。

標準分數可藉由以下公式求出：

${\displaystyle z={x-\mu \over \sigma }}$

其中 ${\displaystyle \sigma \neq 0}$。

其中

• ${\displaystyle x\,}$ 是需要被標準化的原始分數
• ${\displaystyle \mu \,}$ 是母體的平均值
• ${\displaystyle \sigma \,}$ 是母體的標準差

Z值的量代表著原始分數和母體平均值之間的距離，是以標準差為單位計算。在原始分數低於平均值時Z則為負數，反之則為正數。换句话说，Z值是从感兴趣的点到均值之间有多少个标准差。

關鍵點是，計算Z值時需要「母體」的平均值和標準差，而不是「樣本」的平均值和標準差。因此需要了解母體的統計數據資料。

但是要確實了解母體真正的標準差往往是不切實際的，除非是在「標準化測驗」之類的情形中，整個母體都是經過測量的。在其他情況中，幾乎不可能測量母體的每一個組成單位，因此通常會使用隨機的樣本來評估標準差。例如：「有吸菸習慣的總人數」就不是經過一個一個測量而得出的。

在這種情況下，標準分數為：

${\displaystyle z={\frac {x-{\bar {x}}}{S}}}$

其中 ${\displaystyle S\neq 0}$

其中

• ${\displaystyle {\bar {x}}}$ 是樣本平均值

• ${\displaystyle S}$ 是樣本的標準差

當母體為正态分布時，其百分位数可能是由標準分數和普通表格所決定的。

數理統計學中的標準化

在数理统计学中，隨機變數「X」是使用理論（母體）的平均值和標準差所標準化的結果：

${\displaystyle Z={X-\mu \over \sigma }}$

其中 μ = E(X) 為平均值、σ² = Var(X) 為X的概率分布之方差

若隨機變數無法確定時，則為算术平均数：

${\displaystyle {\bar {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

因此經過標準化的結果為：

${\displaystyle Z={{\bar {X}}-\mu \over \sigma /{\sqrt {n}}}.}$

應用

• 在日本，標準分數常被用在計算學力測驗的「學力偏差值」，並且依此判斷進入理想大學的可能性。
• 在智力測驗時，用來計算「智力標準分數」，在教育的用途上，常和「智商」一起被當作參考的依據。

高考标准分

截至2020年，中国大陆地区曾有福建省和海南省实行标准分制度以计算高考总分。

外部連結

• 英文 Z-分數計算機 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 能在「累積機率」數值（Q）和Z-分數（標準分數）之間轉換。
• 英文 免費的Z-分數（標準分數）計算機 輸入樣本平均值、樣本標準差和尚未標準化的數據之後，即可算出標準分數。

參見

• 統計學
• 標準九分
• Z检验

參考資料

1. 樂詞網：標準計分. 國家教育研究院樂詞網. [2024-01-13]. （原始内容存档于2024-01-13） （中文（臺灣））.