切比雪夫不等式

此条目页的主題是概率論的切比雪夫不等式。关于牽涉到級數的不等式，請見「切比雪夫總和不等式」。

切比雪夫不等式（英語：Chebyshev's Inequality），是概率论中的一个不等式，顯示了隨機變量的「幾乎所有」值都會「接近」平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切比雪夫不等式对任何分布数据都适用。

切比雪夫不等式可表示为以下形式：对于任何随机变量 ${\displaystyle X}$ 和实数 ${\displaystyle b>0}$，都有 ${\displaystyle P(|X-E(X)|\geq b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}}$，其中 ${\displaystyle E(X)}$ 表示 ${\displaystyle X}$ 的数学期望，${\displaystyle Var(X)}$ 为 ${\displaystyle X}$ 的方差。

概念

這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

• 與平均相差2個標準差以上的值，數目不多於1/4
• 與平均相差3個標準差以上的值，數目不多於1/9
• 與平均相差4個標準差以上的值，數目不多於1/16

……

• 與平均相差k個標準差以上的值，數目不多於1/k^2

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分或多於110分（與平均相差3個標準差以上）的人，數目不多於4個（=36*1/9）。
公式：${\displaystyle P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}}$

推论

測度論說法

設(X,Σ,μ)為一測度空間，f為定義在X上的廣義實值可測函數。對於任意實數t > 0，

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .}$

一般而言，若g是非負廣義實值可測函數，在f的定義域非降，則有

${\displaystyle \mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

${\displaystyle g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$

概率論說法

設${\displaystyle X}$為隨機變量，期望值為${\displaystyle \mu }$，标准差為${\displaystyle \sigma }$。對於任何實數k>0，

${\displaystyle \Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.}$

改進

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：

${\displaystyle \Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})}$

${\displaystyle \Pr(X=0)=1-1/k^{2}}$

這個分布的標準差${\displaystyle \sigma =1/k}$，${\displaystyle \mu =0}$。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 ${\displaystyle 1-1/k^{2}}$ 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

當只求其中一邊的值的時候，有Cantelli不等式：

${\displaystyle \Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.}$[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

證明

定義${\displaystyle ~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}}$，設${\displaystyle 1_{A_{t}}}$為集${\displaystyle ~A_{t}}$的指示函数，有

${\displaystyle 0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,}$

${\displaystyle g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .}$

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變量Y和正數a有${\displaystyle \Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a}$。取${\displaystyle Y=(X-\mu )^{2}}$及${\displaystyle a=(k\sigma )^{2}}$。

亦可從概率論的原理和定義開始證明：

${\displaystyle \Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})}$

${\displaystyle \leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.}$

參見

• 馬爾可夫不等式
• 弱大數定律
• 大數定律

参考来源

• 《基本統計學 觀念與應用二版》，林惠玲 陳正倉 著
• 《應用統計學 第四版》 修訂版，林惠玲 陳正倉 著