序列紧

在數學上, 若一個拓撲空間裏，每個無窮序列都有收斂子序列，則稱該拓撲空間序列緊（英語：sequentially compact）。 雖然對於度量空間，緊等價於序列緊，但是對於一般的拓撲空間來說，緊（英語：compact）和序列緊是兩個不等價的性質。

例子和性質

實數軸上的標準拓撲不是序列緊的，例如 (s_n = n) 便是一個沒有收斂子序列的序列。但由波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理可知所有${\displaystyle \mathbb {R} }$上的閉區間導出的子空間拓撲都是序列緊的。

對於度量空間，序列緊與緊等價。[1] 然而，一般情況下，存在序列緊而非緊的拓撲空間，比如具有序拓撲的首個不可數序數，也存在緊而非序列緊的拓撲空間，比如由 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$ 多個單位閉區間組成的積空間。[2]

有關概念

• 若拓撲空間 X 的任意無窮子集都有一個極限點在 X 中，則稱 X 為聚點緊的。
• 若拓撲空間 X 的任意可數開覆蓋都有一個有限子覆蓋，則稱 X 為可數緊的。

對於度量空間，序列緊、聚點緊、可數緊、緊都是互相等價的性質。[3]

對於序列空間，序列緊與可數緊等價。[4]

單點緊化的構想是，在拓撲空間中加入一點，然後要求所有無收斂子序列的序列都收斂到該額外的點。 [5]例如實數軸的單點緊化${\displaystyle \alpha \mathbb {R} }$，它令所有在標準拓撲不收斂的序列收斂至額外的點，該點又稱為無窮遠點。

相關條目

• 波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理

參考來源

1. Willard, 17G, p. 125.
2. Steen and Seebach, Example 105, pp. 125—126.
3. Munkres, p. 179-180.
4. Engelking, General Topology, Theorem 3.10.31
   K.P. Hart, Jun-iti Nagata, J.E. Vaughan (editors), Encyclopedia of General Topology, Chapter d3 (by P. Simon)
5. Brown, Ronald, "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

參考書目

• Munkres, James. Topology 2nd. Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-181629-2. 
• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• Willard, Stephen. General Topology. Dover Publications. 2004. ISBN 0-486-43479-6.