可分空间

在数学中，一个拓扑空间被称为可分空间当它包含一个可数的稠密子集，也就是说，存在一个序列${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$，使得此空间中的每个非空的开子集都有这个序列中的至少一个元素。

如可数性公理一样，可分性是一种对空间“大小”的“限制”，虽然这个限制并不一定就是对空间中元素多少的限制（然而在豪斯多夫公理成立的时候这两者是一样的）。特别地，可分空间中的每个连续函数，只要其图像是某个豪斯多夫空间的子集的话，就会被其在某个可数的稠密子集上的取值所确定。

一般来说，对于经典分析学和几何学中的空间来说，可分性是一个很有用的技术性假设，也被认为是比较弱的假设。

例子

首先，所有的由有限集或者可数集构成的空间都是可分空间。由不可数集所构成的拓扑空间中，一个可分空间的重要例子是由所有实数组成的实数集空间，因为所有的有理数在其中构成了一个可数的稠密子集。类似地，所有由向量${\displaystyle (r_{1},\ldots ,r_{n})}$ 所构成的空间 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$也是可分空间，也即是说，所有的有限维欧几里德空间都是可分的。

不可分空间的一个简单例子是基数不可数的离散空间。

可分性与第二可数性

每个第二可数空间都是可分的: 如果 ${\displaystyle \{U_{n}\}}$ 是一个可数基底，那么只要选择任意一个 ${\displaystyle x_{n}\in U_{n}}$ 就可以得到一个可数并且稠密的子集。反过来说，一个度量空间可分当且仅当它是第二可数的或林德洛夫空间。

参考来源

• Kelley, John L., General Topology, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1975, ISBN 978-0-387-90125-1, MR0370454 
• Sierpinski, Waclaw, General topology, Mathematical Expositions, No. 7, Toronto, Ont.: University of Toronto Press, 1952, MR0050870 
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR507446 
• Willard, Stephen, General Topology, Addison-Wesley, 1970, ISBN 978-0-201-08707-9, MR0264581 
• Juha Heinonen, Geometric embeddings of metric spaces (PDF), January 2003 [6 February 2009], （原始内容存档 (PDF)于2019-07-11）