下限拓扑

數學上，下限拓撲是定義在實數集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的拓撲。其不同於 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。

這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 Robert Sorgenfrey（英语：Robert Sorgenfrey））或箭頭，有時記為 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$. 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。

${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 與自身的積也是有用的反例，稱為Sorgenfrey平面。

類似地，可以定義 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 上的上限拓撲，其性質與下限拓撲完全相同。

性質

• 下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
• 對任意實數 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$, 區間 ${\displaystyle [a,b)}$ 都是 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 的闭开集（既是开集，也是闭集）。而且，對任意實數 ${\displaystyle a}$, 集合 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x<a\}}$ 和 ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}}$ 皆為閉開集。故 ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 為完全不连通空间。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} _{l}}$. 取定 ${\displaystyle x\in C}$, 考慮 ${\displaystyle C}$ 的開覆蓋：

${\displaystyle {\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.}$

由於 ${\displaystyle C}$ 為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數 ${\displaystyle a(x)}$ 使得區間 ${\displaystyle (a(x),x]}$ 不含 ${\displaystyle C}$ 除 ${\displaystyle x}$ 以外的點。這對任意 ${\displaystyle x\in C}$ 為真。現選取有理數 ${\displaystyle q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q} }$. 對不同的 ${\displaystyle x\in C}$, 區間 ${\displaystyle (a(x),x]}$ 兩兩不交，故函數 ${\displaystyle q:C\to \mathbb {Q} }$ 為單射，故 ${\displaystyle C}$ 至多可數。

• 「下限拓撲」得名自以下性質：${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 中的序列（或網）${\displaystyle (x_{\alpha })}$ 收斂到 ${\displaystyle L}$ 当且仅当其「從右接近 ${\displaystyle L}$」，即對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ，均存在下標 ${\displaystyle \alpha _{0}}$ 使得 ${\displaystyle \forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon }$. ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 因此可用於研究單側極限：對函數 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle x}$ 之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下 ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle x}$ 之一般極限。
• 就分离公理而言， ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是完美正规豪斯多夫空間（T₆ 空間）。
• 就可數性公理而言， ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是第一可數空間和可分空间，但並非第二可數空間。
• 就緊緻性而言，${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是林德勒夫空間和仿紧空间，但並非σ-緊空間（英语：σ-compact space），也不是局部紧空間。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 不可度量化，因為可分的度量空間必為第二可數。然而，${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 的拓撲是由一個預度量給出。
• ${\displaystyle \mathbb {R} _{l}}$ 是一個贝尔空间 [1]。

參考資料

1. Re: Baireness of Sorgenfrey line, more details (and more accurate). at.yorku.ca. [2018-07-05]. （原始内容存档于2011-06-04）. 

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr., Counterexamples in Topology Dover reprint of 1978, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995 [1978], ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446