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幻方 幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从到的连续整数组成，其中为正方形的行或列的数目。因此阶幻方有行列，并且所填充的数为从到。 幻方可以使用阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数，如果填充数为，那么有 幻方简史《繫辭》云：「河出圖，洛出書，聖人則之。」在宋朝之前，洛書的記述只有文字。 九宮圖實物最早發現於西漢，1977年中國考古學家在安徽阜陽縣雙古堆西漢古墓中發現漢文帝七年（前173年）的太乙九宮占盤，乃是中國漢代幻方的實物。東漢《數術記遺》也有記載。 後來陳摶以降認為河圖洛書的洛書代表九宫图，為这个数，而行、列以及两对角线上各自的数之和均为15。 杨辉纵横图 南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。 构造法根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、阶幻方和阶幻方，其中为自然数，阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。 奇数阶幻方构造法右斜角降位法1假設要建構n階幻方，n為奇數。
以下图阶幻方为例，填写在（第一行第三列）的位置上；应当填写在其右上方格即中，由于超出顶边界，所以从最底行进入，即；填写在的右上方格中；填写在的右上方格中，由于超出右边界，所以从最左列进入，即；填写在的右上方格中；应该填写的方格已经被所占据，因此填写在的正下方格中；按照上面的步骤直到所有数填入。
魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：
右斜角降位法2假設要建構n階幻方，n為奇數。
右斜角升位法假設要建構n階幻方，n為奇數。
菱形法假設要建構n階幻方，n為奇數。
偶数阶幻方构造法阶幻方构造法消去對角線法
保留對角線法假設要建構n階幻方，n為4的倍數。
如4阶幻方的排列法： 阶幻方构造法LUX法在(4M+2)×(4M+2）個方格的適當格點上，先排出2M+1階的幻方。在前M+1行的格點，全部標上「L」；在第M+1行的中間格點標上「U」，其余格點標上「L」；在第M+2行的中间格點標上「L」，其余格點標上「U」；在餘下的M-1行的格點全部標上「X」。將格點上的數乘以4再減4，再按下面的規則加上1至4其中一個數，填入對應的格上： 4 1 1 4 1 4 L U X 2 3 2 3 3 2 例子： [ 68 65 96 93 4 1 32 29 60 57 ]
17L 24L 1L 8L 15L
[ 66 67 94 95 2 3 30 31 58 59 ]
[ 92 89 20 17 28 25 56 53 64 61 ]
23L 5L 7L 14L 16L
[ 90 91 18 19 26 27 54 55 62 63 ]
[ 16 13 24 21 49 52 80 77 88 85 ]
4L 6L 13U 20L 22L
[ 14 15 22 23 50 51 78 79 86 87 ]
[ 37 40 45 48 76 73 81 84 9 12 ]
10U 12U 19L 21U 3U
[ 38 39 46 47 74 75 82 83 10 11 ]
[ 41 44 69 72 97 100 5 8 33 36 ]
11X 18X 25X 2X 9X
[ 43 42 71 70 99 98 7 6 35 34 ]
斯特拉奇法任何階數的幻方都適用的構造法艾歆緹雅法此方法可用來建構任何階數的幻方，當要建構n階幻方時，使用兩個方陣，一個填入正整數1到n各n次，另一個則填入0、n、2n、3n、…、(n-1)*n各n次，儘管奇數階幻方與偶數階幻方的填入方式有所不同。 對於奇數階幻方： 第一個方陣：在第一橫列中央的方格填入1，並且往左下角不斷填入1，若超出方陣外，則向右平移n格，直到每一橫列都有一個方格填入1為止，再把所有填入1的方格右邊的格子填入2（若超出方陣外，則向左平移n格），再把所有填入2的方格右邊的格子填入3，一直到填入n為止。 第二個方陣：在第一直行中央的方格填入0，並且往右下角不斷填入1，若超出方陣外，則向上平移n格，直到每一直行都有一個方格填入0為止，再把所有填入0的方格右邊的格子填入n（若超出方陣外，則向上平移n格）。再把所有填入n的方格右邊的格子填入2n，一直到填入(n-1)*n為止。 再把兩個方陣中的數相加。 事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中(n+1)/2這個數字，以及第二個方陣中(n-1)*n/2這個數字，不能被替換。 對於偶數階幻方： 第一個方陣：第一直行由上到下依次填入1到n，第二直行由下到上依次填入1到n，第三直行與第二直行相同，第四直行與第一直行相同，若超過四直行，則重複第一到第四直行的步驟。 第二個方陣：第一橫列由上到下依次填入0到n*(n-1)，第二橫列由下到上依次填入0到n*(n-1)，第三橫列與第二橫列相同，第四橫列與第一橫列相同，若超過四橫列，則重複第一到第四橫列的步驟。 此方法暫時只適用於4k階的幻方。 事實上，你可以將這兩個方陣中的每一個相同數字都替換為另一個數字，只要這兩個方陣中原本有出現的n個數字都仍然各出現n次即可，唯一的條件是第一個方陣中每個直行相對的兩個數字之和必須是n+1，以及第二個方陣中每個橫列相對的兩個數字之和必須是n*(n-1)。 如果是4k+2階的幻方，就必須在第二個方陣中，檢查每個直行相對的兩個數字之和為n*(n-1)的格子，對於這些格子，第一個方陣的對應格子。 加邊法當n為大於等於5的正整數時，此方法可由n-2階幻方外圍加上一圈來構造n階幻方。 以阶为例子，先排出阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上，有下图： 在外围加上一圈格子，把和这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于。对于这些数是：；。 方陣合成法當n可以分解成兩個大於等於3的正整數a與b的乘積時，此方法可由a階幻方與b階幻方來構造n階幻方。
編程語言參考實現
int a[17],b[17],m; void s(int i) { /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/ int n=0,j=0;
while(++j<17)
if(!a[j])
{
a[b[i]=j]=1;
switch(i)
{
case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
}
a[j]=0;
}
} int main(void) { s(1);
printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
return 0;
} #include<stdio.h>
int a[17],b[17],m;
void s(int i)
{ /*搜索全部四階幻方，C代碼,運行時間7秒*/
int n=0,j=0;
while(++j<17)
if(!a[j])
{
a[b[i]=j]=1;
switch(i)
{
case 1:case 2:case 3:case 5:case 6:case 7:case 9:case 10:s(i+1);break;
case 11:if(b[6]+b[7]+b[10]+b[11]==34)s(12);break;
case 4:case 8:case 12:if(b[i-3]+b[i-2]+b[i-1]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 13:if(b[1]+b[5]+b[9]+b[13]==34&&b[4]+b[7]+b[10]+b[13]==34)s(14);break;
case 14:case 15:if(b[i-12]+b[i-8]+b[i-4]+b[i]==34)s(i+1);break;
case 16:for(printf("\n"),++m;++n<17;n%4?0:printf("\n"))printf("%2d ",b[n]);
}
a[j]=0;
}
}
int main(void)
{
s(1);
printf("四階幻方總數量:%d(含旋轉反射相同)",m);
return 0;
}
奇數階幻方算法的Java語言實現/**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建奇數階的幻方
*/
public class magic_squre_odd {
static int[][] matrix;
static int n;
public static void magic_squre_odd_generate()
{ matrix = new int[n][n];
//所有的數初始化為0
matrix[0][(n-1)/2] = 1;
int x = 0,y = (n-1)/2;
//count:記住已經插入過的數
for(int count = 2; count<=n*n;count++)
while(true)
{
//先x-1 y+1
x--;
y++;
//判斷是否可以插入
while(true)
{//循環判斷是否越界，直到一個地方不越界為止
//判斷是否越界：
//越上界x<0，則移到最下方x=x+n，y不變; continue
if(x<0)
{
x += n;
continue;
}
//越右界y>=n，則y=y-n，x不變;continue
if(y>=n)
{
y -= n;
continue;
}
//循環判斷是否該位置已經有數據，直到找到一個空位
//如果有數據，則移到x = x + 2;y = y - 1; continue
if (y<0){y+=n;continue;}
if(matrix[x][y] != 0 )
{
x += 2;y -= 1;
if (x>=n){x-=n;continue;}
if (y<0){y+=n;continue;}
continue;
}
break;
}
//將當前的count值賦給選出的空位
matrix[x][y]= count;
break;
}
}
public static void print()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
//System.out.println(matrix[i][j]);
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.print("_");
}
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args)
{ //手工輸入n的值，並確保為奇數
n = 11;
magic_squre_odd_generate();
print();
}
}
以下是本算法將n設置為11時得出的11階幻方的構造結果： 68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66 80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67 92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79 104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91 116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103 7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115 19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6 31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18 43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30 55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42 56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54 階幻方算法的Java語言實現 /**
* @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用於創建4階的幻方
*
*/
public class magic_square_4m {
/**
* @param args
*/
static int matrix[][];
static int n;
static void magic_squre_4m_generate()
{
//初始化matrix
matrix = new int[n][n];
//將matrix裡的位置用數順序排列
int ini = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++)
matrix[i][j] = ++ini;
//輸出對調前的樣子
System.out.println("對調之前的樣子：");
print();
//然後對調（僅對右上方的數進行遍歷）
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = i + 1; j < n; j++)
{
if(( i != j) && (i + j) != (n -1) )
{ //對不在主付對角線上的數關於中心對調
int temp;
temp = matrix[i][j];
matrix[i][j] = matrix[n -1 - i][n - 1 - j];
matrix[n -1 - i][n - 1 - j] = temp;
}
}
}
public static void print()
{
for(int i = 0; i < n; i++)
{
for(int j = 0; j < n; j++)
{
System.out.print(matrix[i][j]);
System.out.print("_");
}
System.out.print("\n");
}
}
public static void main(String[] args) {
//這裡手動設置n的數值為4，這裡只能設置為4，因為只求4階幻方
n = 4;
magic_squre_4m_generate();
System.out.println("對調之後的樣子：");
print();
}
}
以下是本算法輸出的結果： 對調之前的樣子： 1_2_3_4_ 5_6_7_8_ 9_10_11_12_ 13_14_15_16_ 對調之後的樣子： 1_15_14_4_ 12_6_7_9_ 8_10_11_5_ 13_3_2_16_ 研究价值知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。[2] 对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方陣和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是计算群论的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。 艺术与流行文化参见參考資料引用延伸阅读
外部链接 |
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{cccc|cccc}\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\hline \diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup \\\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar \\\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar &\bigstar &\diagup &\diagdown &\bigstar \\\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown &\diagup &\bigstar &\bigstar &\diagdown \\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a634984bcbba3ba69818bf693cd72e69db8c4b0c)
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