Tính so sánh được

Biểu đồ Hasse của các số tự nhiên, được sắp thứ tự riêng phần theo quan hệ "xy nếu x là ước của y". Số 4 và 6 không so sánh được với nhau vì không có số nào trong cặp chia hết cho số còn lại.

Trong toán học, hai phần tử xy của tập hợp P được gọi là so sánh được với nhau tương ứng với quan hệ hai ngôi ≤ nếu ít nhất một trong xy hoặc yx là đúng. Ngược lại thì chúng được gọi là không so sánh được với nhau.

Định nghĩa chặt chẽ

Quan hệ hai ngôi trên tập hợp được định nghĩa là bất kỳ tập hợp con của Cho được viết khi và chỉ khi , khi đó ta nói quan hệ với theo Phần tử được gọi là -so sánh được hay, hay so sánh được (tương ứng với quan hệ ), với phần tử nếu hoặc Thường thì các ký hiệu so sánh chẳng hạn như (hoặc và nhiều cái khác) được dùng thay cho và ta viết thay cho .Do vậy thuật ngữ "so sánh được" được sử dụng.

Tinh so sánh được tương ứng với cảm sinh một quan hệ hai ngôi chính tắc trên ; chính xác hơn, quan hệ so sánh được cảm sinh bởi được định nghĩa là tập tất cả các cặp thỏa mãn so sánh được với ; tức là ít nhất một trong hoặc là đúng. Tương tự, quan hệ không so sánh được trên cảm sinh bởi được định nghĩa là tập tất cả các cặp thỏa mãn không so sánh được với ; tức là cả đều sai.

Nếu ký hiệu được dùng thay vì thì tính so sánh được tương ứng với đôi khi được ký hiệu bởi , còn tính không so sánh được được ký hiệu bởi .[1]

Ví dụ

Tập hợp sắp thứ tự toàn phầntập hợp sắp thứ tự riêng phần trong đó bất kỳ hai phần tử đều so sánh được với nhau. Định lý mở rộng Szpilrajn phát biểu rằng mọi thứ tự riêng phần đều nằm trong một thứ tự toàn phần nào đó. Theo trực giác, có nghĩa là bất kỳ phương pháp so sánh nào mà để lại một số cặp không so sánh được với nhau, vẫn có thể mở rộng sao cho mọi cặp so sánh được với nhau.

Tính chất

Cả hai quan hệ so sánh đượckhông so sánh được đều có tính đối xứng, nghĩa là so sánh được với khi và chỉ khi so sánh được với tương tự như vậy đối với tính không so sánh được.

Đồ thị so sánh được

Đồ thị so sánh được của tập hợp sắp thứ tự riêng phần có các đỉnh là các phần tử thuộc và các cạnh là các cặp phần tử sao cho .[2]

Phân loại

Khi phân loại các đối tượng toán học (chẳng hạn như không gian tô pô), hai tiêu chuẩn được gọi là so sánh được với nhau nếu các đối tượng thỏa mãn một tiêu chuẩn sẽ cấu tạo một tập con các đối tượng thỏa mãn tiêu chuẩn còn lại, tức là chúng so sánh được với nhau dưới thứ tự riêng phần ⊂.Vi dụ chẳng hạn, Tiêu chuẩn T1T2 so sánh được với nhau trong khi tiêu chuẩn T1tiêu chuẩn điều độ thì không.

Xem thêm

Tham khảo

  1. ^ Trotter, William T. (1992), Combinatorics and Partially Ordered Sets:Dimension Theory, Johns Hopkins Univ. Press, tr. 3
  2. ^ Gilmore, P. C.; Hoffman, A. J. (1964), “A characterization of comparability graphs and of interval graphs”, Canadian Journal of Mathematics, 16: 539–548, doi:10.4153/CJM-1964-055-5, Bản gốc lưu trữ ngày 2 tháng 8 năm 2017, truy cập ngày 13 tháng 3 năm 2023.

Liên kết ngoài