Bao đóng phản xạ

Trong toán học, bao đóng phản xạ của quan hệ hai ngôi R trên tập hợp X là quan hệ phản xạ nhỏ nhất trên X mà chứa R.

Lấy ví dụ, nếu X là tập các số phân biệt và x R y nghĩa là "x nhỏ hơn y", thì bao đóng phản xạ của quan hệ R là quan hệ "x nhỏ hơn hoặc bằng y".

Định nghĩa

Bao đóng phản xạ S của quan hệ R trên tập X được định nghĩa như sau

${\displaystyle S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}}$

nghĩa là bao đóng phản xạ của R là hợp của R với quan hệ đơn vị của X.

Ví dụ

Xét ví dụ sau

${\displaystyle X=\left\{1,2,3,4\right\}}$

${\displaystyle R=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}}$

vì quan hệ ${\displaystyle R}$ đã phản xạ sẵn rồi, nên bao đóng phản xạ của nó là chính nó.

Song, nếu bỏ đi bất kỳ cặp trong ${\displaystyle R}$, cặp đó sẽ lại được thêm vào trong bao đóng phản xạ. Ví dụ nếu như bỏ cặp ${\displaystyle (3,3)}$ trong ${\displaystyle R}$ thì bao đóng phản xạ của nó sẽ là

${\displaystyle S=R\cup \left\{(x,x):x\in X\right\}=\left\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\right\}.}$

Xem thêm

• Bao đóng bắc cầu
• Bao đóng đối xứng

Tham khảo

• Franz Baader và Tobias Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge University Press, 1998, p. 8