Quan hệ phản xạ

Trong toán học, quan hệ hai ngôi R trên tập X có tính phản xạ nếu nó quan hệ mỗi phần tử của X tới chính phần tử đó.[1][2]. Nếu quan hệ có tính phản xạ thì ta gọi quan hệ đó là quan hệ phản xạ.

Một ví dụ của quan hệ phản xạ là quan hệ "bằng với" trên tập các số, bởi mỗi số đều bằng với chính nó. Cùng với tính đối xứng và tính bắc cầu, 3 tính chất lập thành quan hệ tương đương

Định nghĩa

Gọi là quan hệ hai ngôi trên tập , theo định nghĩa tức là tập con của Cho bất kỳ ký hiệu nghĩa là trong khi "không " nghĩa là

Quan hệ được gọi là có tính phản xạ nếu với mọi hoặc tương đương: nếu trong đó ký hiệu quan hệ đơn vị trên Bao đóng phản xạ của là hợp , hay định nghĩa tương đương của nó là quan hệ phản xạ nhỏ nhất đối với ) trên tập tập chứa của Quan hệ có tính phản xạ khi và chỉ khi nó bằng với bao đóng phản xạ của nó,

Rút gọn phản xạ hay hạt nhân không phản xạ của là quan hệ nhỏ nhất (đối với ) trên có bao đóng phản xạ của nó bằng với Nó bằng với Hạt nhân không phản xạ của có thể hiểu là cách xây "ngược lại" với bao đóng phản xạ Lấy ví dụ, bao đóng phản xạ của quan hệ chặt chính tắc trên các số thực là quan hệ không chặt trong khi rút gọn phản xạ của

Các định nghĩa gần với tính phản xạ

Có một số định nghĩa gần với tính phản xạ. Quan hệ được gọi là có tính:

Hoàn toàn không phản xạ [3]
Nếu nó không quan hệ bất cứ phần tử nào với chính nó; nghĩa là không với mọi Quan hệ hoàn toàn không phản xạ khi và chỉ khi phần bù của nó trong có tính phản xạ. Quan hệ không đối xứng thì cũng sẽ không phản xạ. Quan hệ bắc cầu và hoàn toàn không phản xạ thì sẽ không đối xứng.
Tựa phản xạ trái
Bất cứ khi nào có sao cho thì [4]
Tựa phản xạ phải
Bất cứ khi nào có sao cho thì
Tựa phản xạ
Nếu hai phần tử có quan hệ với nhau, thì mỗi phần tử trong cặp quan hệ đó có quan hệ với chính nó. Cụ thể hơn, nghĩa là bất cứ khi nào có sao cho thì Một định nghĩa tương đương khác là, quan hệ hai ngôi có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi nó vừa tựa phản xạ trái vừa tựa phản xạ phải. Một quan hệ có tính tựa phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ có tính tựa phản xạ trái hoặc phải.
Phản xứng
Bất cứ khi nào sao cho thì
Đối phản xạ
Bất cứ khi nào sao cho thì [5] Quan hệ có tính đối phản xạ khi và chỉ khi bao đóng phản xạ của nó có tính phản đối xứng.

Quan hệ phản xạ trên tập khác rỗng không thể hoàn toàn không phản xạ, không đối xứng ( được gọi là không đối xứng nếu thì không ), và không bắc cầu ( được gọi là không bắc cầu nếu thì không ).

Các ví dụ

Các ví dụ của quan hệ phản xạ bao gồm:

Các ví dụ của quan hệ không phản xạ bao gồm:

  • "không bằng với"
  • "nguyên tố cùng nhau" trên các số nguyên lớn hơn 1
  • "là tập con thực sự của"
  • "lớn hơn"
  • "nhỏ hơn"

Nếu quan hệ không có tính phản xạ thì không nhất thiết nó hoàn toàn không phản xạ; ta có thể định nghĩa quan hệ sao cho một số phần tử có quan hệ với chính nó nhưng các phần tử khác thì không (nghĩa là không phải tất cả đều phải có tính phản xạ) . Lấy ví dụ, quan hệ hai ngôi "tích của là số chẵn" có tính phản xạ trên tập các số chẵn, hoàn toàn không phản xạ trên tập các số lẻ, và không có tính phản xạ hay hoàn toàn không phản xạ trên tập các số tự nhiên.

Số các quan hệ phản xạ

Số các quan hệ phản xạ trên tập có phần tử là [6]

Số các quan hệ từng loại của tập hợp có n phần tử
Số phần tử Bất kì Bắc cầu Phản xạ Đối xứng Tiền thứ tự Thứ tự bộ phận Tiền thứ tự toàn phần Thứ tự toàn phần Quan hệ tương đương
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 2 1 2 1 1 1 1 1
2 16 13 4 8 4 3 3 2 2
3 512 171 64 64 29 19 13 6 5
4 65536 3994 4096 1024 355 219 75 24 15
n 2n2 2n2n 2n(n+1)/2 n!
OEIS A002416 A006905 A053763 A006125 A000798 A001035 A000670 A000142 A000110

Trong đó S(n, k)số Stirling loại thứ hai.

Logic triết học

Các tác giả trong logic triết học thường sử dụng thuật ngữ khác so với toán học. Quan hệ phản xạ trong toán học thì sẽ được gọi là phản xạ toàn phần trong logic triết học, còn quan hệ tựa phản xạ thì sẽ được gọi là quan hệ phản xạ.[7][8]

Chú thích

  1. ^ Levy 1979:74
  2. ^ Relational Mathematics, 2010
  3. ^ Ngoài ra còn có tên phản phản xạ và alioreflexive, thuật ngữ được đưa bởi C S Peirce, xem Bertrand Russell (tháng 4 năm 1920). Introduction to Mathematical Philosophy (PDF) (ấn bản thứ 2). London: George Allen & Unwin, Ltd. (Online corrected edition, Feb 2010). Here: p. 32. Russel also introduces two equivalent terms to be contained in or imply diversity.
  4. ^ Quyển Encyclopedia Britannica gọi tính chất này là tựa phản xạ.
  5. ^ Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).
  6. ^ On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763
  7. ^ Alan Hausman; Howard Kahane; Paul Tidman (2013). Logic and Philosophy — A Modern Introduction. Wadsworth. ISBN 1-133-05000-X. Here: p.327-328
  8. ^ D.S. Clarke; Richard Behling (1998). Deductive Logic — An Introduction to Evaluation Techniques and Logical Theory. University Press of America. ISBN 0-7618-0922-8. Here: p.187

Tham khảo

Liên kết ngoài