Тест Соловея — Штрассена

Тест Соловея — Штрассена — імовірнісний тест простоти, відкритий у 1970-х роках Робертом Мартіном Соловеем спільно з Фолькером Штрассеном.[1] Тест завжди коректно визначає, що просте число є простим, але для складених чисел з деякою ймовірністю він може дати неправильну відповідь. Основна перевага тесту полягає в тому, що він, на відміну від тесту Ферма, розпізнає числа Кармайкла як складені.

Історія

У 17 столітті Ферма довів твердження, назване пізніше малою теоремою Ферма, що слугує основою тесту Ферма на простоту:

Якщо n — просте і a не ділиться на n, то ${\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$.

Ця перевірка для заданого n не вимагає великих обчислень, однак твердження, протилежне цьому, є невірним. Так, існують числа Кармайкла, які є складеними, для яких твердження, наведене в малій теоремі Ферма, виконується для всіх цілих чисел взаємнопростих з заданим числом. У 1994 році було показано, що таких чисел нескінченно багато.[2] У зв'язку з виявленим недоліком тесту Ферма, актуальності набуло завдання збільшення достовірності ймовірнісних тестів. Першим тест, що відсіює числа Кармайкла як складені, запропонував Леманн. Цей недолік відсутній також у тестах Соловея — Штрассена і Міллера — Рабіна за рахунок більш сильного критерію відсіву, ніж мала теорема Ферма. Незалежно від один одного Д. Лемер в 1976 році і Р. Соловей спільно з Ф. Штрассеном в 1977 році довели, що аналога чисел Кармайкла, які є складеними і одночасно ейлеровими псевдопростими, немає.[3] На основі цього і був запропонований тест Соловея — Штрассена на простоту, він був опублікований в 1977 році, доповнення до нього в 1978 році.

Обґрунтування

Тест Соловея — Штрассена спирається на малу теорему Ферма і властивості символу Якобі[4]:

• Якщо n — непарне складене число, то кількість цілих чисел a, взаємнопростих з n і менших n, що задовольняють порівнянню ${\displaystyle \textstyle a^{(n-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}}}$не перевищує ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$.

Складені числа n, що задовольняють цьому порівнянню називаються псевдопростими Ейлера-Якобі за основою a.

Алгоритм Соловея — Штрассена

Алгоритм Соловея — Штрассена[5] параметризується кількістю ітерацій k. У кожній ітерації випадковим чином вибирається число a < n. Якщо НСД(a,n) > 1, то виноситься рішення, що n - складене. Інакше перевіряється справедливість порівняння ${\displaystyle \textstyle a^{(n-1)/2}\equiv \left({a \over n}\right){\pmod {n}}}$. Якщо воно не виконується, то виноситься рішення, що n — складене. Якщо це порівняння виконується, то a є свідком простоти числа n. Далі вибирається інше випадкове a і процедура повторюється. Після знаходження k свідків простоти в k ітераціях виноситься висновок, що n є простим числом з імовірністю ${\displaystyle \textstyle 1-2^{-k}}$.

На псевдокоді алгоритм може бути записаний наступним чином:

 Ввід: ${\displaystyle n}$ > 2, непарне натуральне число, що тестується;
      ${\displaystyle k}$, параметр, що визначає точність тесту.
Вивід: складене, означає, що ${\displaystyle n}$ точно складене;
       ймовірно просте, означає, що ${\displaystyle n}$ ймовірно є простим.

for i = 1, 2, ..., ${\displaystyle k}$:
   ${\displaystyle a}$ = випадкове ціле від 2 до ${\displaystyle n-1}$, включно;
   якщо НСД(a, n) > 1, тоді:
       вивести, що ${\displaystyle n}$ — складене, і зупинитися.
   якщо ${\displaystyle a^{(n-1)/2}\not \equiv \left({a \over n}\right){\pmod {n}}}$, тоді: 
       вивести, що ${\displaystyle n}$ — складене, і зупинитися.

інакше вивести, що ${\displaystyle n}$ — просте  зі ймовірністю ${\displaystyle \textstyle 1-2^{-k}}$, і зупинитися.

Приклад застосування алгоритму

Перевіримо число n = 19 на простоту. Виберемо параметр точності k = 2.

 k = 1
 Виберемо довільне число a = 11; 2 < a < n - 1
 Перевіримо умову НСД(a,n)>1
 НСД(11,19)=1; отже, перевіряємо виконання порівняння ${\displaystyle \textstyle a^{(n-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}}}$  
 ${\displaystyle r=\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {11}{19}}\right)=1}$
 ${\displaystyle \textstyle s=a^{(n-1)/2}=11^{(19-1)/2}{\pmod {19}}=1}$
 Отримали, що ${\displaystyle \textstyle r=s}$, тому переходимо до наступної ітерації

 k = 2
 Виберемо довільне число a = 5; 2 < a < n - 1
 Перевіримо умову НСД(a,n)>1
 НСД(5,19)=1; отже, перевіряємо виконання порівняння ${\displaystyle \textstyle a^{(n-1)/2}\equiv \left({\frac {a}{n}}\right){\pmod {n}}}$  
 ${\displaystyle r=\left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {5}{19}}\right)=1}$
 ${\displaystyle \textstyle s=a^{(n-1)/2}=5^{(19-1)/2}{\pmod {19}}=1}$
 ${\displaystyle \textstyle r=s}$ і це була остання ітерація, звідси робимо висновок, що 19 - просте число з імовірністю ${\displaystyle 1-2^{-2}}$

Обчислювальна складність і точність

• Точність у порівнянні з іншими ймовірнісними тестами на простоту (тут k — число незалежних ітерацій)

назва тесту	ймовірність (що число складене)[6]	примітки
Ферма	${\textstyle 2^{-k}}$	не розпізнає числа Кармайкла як складені
Леманна	${\displaystyle 2^{-k}}$
Соловея — Штрассена	${\displaystyle 2^{-k}}$

• Теоретична складність обчислень всіх наведених у таблиці тестів оцінюється як ${\displaystyle O(\log ^{3}n)}$.[3]
• Алгоритм вимагає ${\displaystyle O(k\log _{2}m)}$ операцій над довгими цілими числами.
• При реалізації алгоритму, для зниження обчислювальної складності, числа a вибираються з інтервалу 0 < a < c < n, де c — константа рівна максимально можливому значенню натурального числа, що міститься в одному регістрі процесора.[5]

Застосування

Ймовірнісні тести застосовуються в системах заснованих на проблемі факторизації, наприклад RSA або схема Рабіна. Однак на практиці ступінь достовірності тесту Соловея — Штрассена не є достатньою, замість нього використовується тест Міллера — Рабіна. Більш того, використовуються об'єднані алгоритми, наприклад пробний поділ і тест Міллера — Рабіна, при правильному виборі параметрів можна отримати кращі результати, ніж при застосуванні кожного тесту окремо.

Поліпшення тесту

У 2005 році на Міжнародній конференції Bit+ «Informational Technologies -2005» А. А. Балабанов, А. Ф. Агафонов, В. А. Рику запропонували модернізований тест Соловея — Штрассена. Тест Соловея — Штрассена заснований на обчисленні символу Якобі, що займає час, еквівалентний ${\displaystyle \log _{2}n}$. Ідея поліпшення полягає в тому, щоб у відповідності з теоремою квадратичного закону взаємності Гаусса, перейти до обчислення величини ${\displaystyle \left({\frac {n}{a}}\right)}$,що є оберненою символу Якобі, що є більш простою процедурою.[7].

Див. також

• Псевдопросте число

Примітки

1. Solovay, Robert M. and Volker Strassen (1977, submitted in 1974). A fast Monte-Carlo test for primality. SIAM Journal on Computing. 6 (1): 84—85. doi:10.1137/0206006.
2. W. R. Alford, A. Granville, C. Pomerance (1994). There are Infinitely Many Carmichael Numbers (PDF). Annals of Mathematics. 139: 703—722. doi:10.2307/2118576.
3. Черемушкин, 2001.
4. Нестеренко, 2011.
5. Нестеренко, 2011, с. 84.
6. Б. Шнайер Прикладная криптография — М. : ТРИУМФ, 2002 . — Глава 11.
7. Балабанов А. А.,Агафонов А. Ф.,Рыку В. А.Алгоритм быстрой генерации ключей в криптографической системе RSA. — Вестник научно-технического развития, 2009 № 7(23). — С. 11.

Література

1. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М. : Научное издательство ТВП, 2001. — С. 149 - 160. — ISBN 5-94057-103-4.
2. Нестеренко А. Введение в современную криптографию. Теоретико-числовые алгоритмы. — 2011. — С. 79 - 90. — ISBN 978-5-94506-320-4.
3. Черемушкин А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии. — МЦНМО. — М., 2001. — С. 42 - 59. — ISBN 5-94057-060-7.
4. Саломаа А. Криптография с открытым ключом / Пер. з англ. І.А. Віхлянцева. — М. : Мир, 1995. — С. 176 - 184. — ISBN 5-03-001991-X.