Теорема про суму кутів трикутника

Сума кутів трикутника ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ },}$ або розгорнутому куту.

Теорема про суму кутів трикутника стверджує, що у евклідовому просторі сума кутів трикутника дорівнює 180°.

Еквівалентні формулювання такі. Сума кутів трикутника дорівнює π радіан, розгорнутому куту, двом прямим кутам, або пів-оберту.

Довгий час було не відомо, чи буде в інших геометріях сума кутів відмінною. Пошук відповіді на це питання суттєво вплинув на математику у 19 столітті. Врешті-решт, було отримано позитивну відповідь: в інших просторах (геометріях) сума кутів трикутника може бути більше або менше, і сума кутів залежить від вибраного трикутника. Відмінність суми від 180° називається дефектом трикутника і використовується як характеристика геометрії простору.

Сума кутів у евклідовій геометрії

Для плаского многокутника в евклідовій площині сума кутів обчислюється за формулою

${\displaystyle (n\cdot 180^{\circ })-360^{\circ }=(n-2)\cdot 180^{\circ },}$

де ${\displaystyle n}$ — кількість сторін багатокутника.

Приклади

Обчислимо суми кутів три-, чотири-, та п'ятикутника:

• для трикутника (${\displaystyle n=3}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(3-2)\cdot 180^{\circ }=180^{\circ }}$
• для чотирикутника (${\displaystyle n=4}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(4-2)\cdot 180^{\circ }=360^{\circ }}$
• для п'ятикутника (${\displaystyle n=5}$): ${\displaystyle (n-2)\cdot 180^{\circ }=(5-2)\cdot 180^{\circ }=540^{\circ }}$

Еквівалентні твердження

У евклідовій геометрії постулат про трикутник стверджує, що сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам. Це твердження еквівалентне постулату про паралельні прямі.[1] За умови, що виконуються аксіоми евклідової геометрії, наступні твердження є еквівалентними:[2]

• Постулат про трикутник: Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим кутам.
• Аксіома Плейфайєра: Через точку, що не лежить на заданій прямій, можна провести одну і лише одну пряму, паралельну даній.
• Аксіома Прокла: Якщо пряма перетинає одну з двох паралельних ліній, то вона повинна перетинати й іншу.[3]
• Постулат рівновіддаленості: Паралельні прямі рівновіддалені (тобто, відстань від будь-якої точки однієї прямої до іншої прямої одна й та ж сама).
• Властивість площі трикутника: Площа трикутника може бути скільки завгодно великою.
• Властивість трьох точок: Будь-які три точки лежать або на прямій або на колі.
• Теорема Піфагора: У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.[1]

Див. також

• Начала Евкліда
• Аксіоматика Гільберта

Примітки

1. Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (вид. 2nd). с. 2147. ISBN 1-58488-347-2. Архів оригіналу за 17 серпня 2016. Процитовано 10 вересня 2017. The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
2. Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. с. 161. ISBN 0-8050-7254-3. Архів оригіналу за 3 січня 2014. Процитовано 10 вересня 2017.
3. Фактично, є твердженням, що відношення паралельності прямих є транзитивним відношенням.