Теорема Ройшле

Теорема Ройшле:
чевіани ${\displaystyle AP_{a}}$, ${\displaystyle AP_{b}}$ і ${\displaystyle AP_{c}}$ перетинаються в точці ${\displaystyle D}$
${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle AP'_{b}}$ і ${\displaystyle AP'_{c}}$ перетинаються в ${\displaystyle D'}$

Теорема Ройшле описує властивості чевіан трикутника, які перетинаються в одній точці. Теорему названо ім'ям німецького математика Карла Густава Ройшле^[en] (1812—1875). Відома також як теорема Теркема за ім'ям французького математика Олрі Теркема^[ru] (1782—1862), який опублікував її 1842 року.

Твердження теореми

У трикутнику ${\displaystyle ABC}$ з трьома чевіанами, що перетинаються в спільній точці, відмінній від вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, позначимо ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ і ${\displaystyle P_{c}}$ перетини продовжених сторін трикутника і чевіан. Коло, що проходить через три точки ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ і ${\displaystyle P_{c}}$ перетинає продовження сторін трикутника в точках ${\displaystyle P'_{a}}$, ${\displaystyle P'_{b}}$ і ${\displaystyle P'_{c}}$. Теорема Ройшле стверджує, що ці три нові чевіани ${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle BP'_{b}}$ і ${\displaystyle CP'_{c}}$ також перетинаються в одній точці.

Окремий випадок. Приклад теореми Ройшле

• Для кола дев'яти точок, яке має ще й назву «коло Теркема», Теркем довів теорему Теркема[1]. Вона стверджує, що якщо коло дев'яти точок перетинає сторони трикутника або їх продовження в 3 парах точок (3 основах відповідно висот і медіан), які є основами 3 пар чевіан, то, якщо 3 чевіани для 3 з цих основ перетинаються в точці 1 (наприклад 3 медіани перетинаються в точці 1), то 3 чевіани для 3 інших основ також перетинаються в точці 1 (тобто 3 висоти повинні перетнутися в точці 1).

Примітки

1. Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника [Архівовано 25 лютого 2020 у Wayback Machine.]. Одесса, 1902. С. 16.

Література

• Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. — Stuttgart, 1867 (reprint Wiesbaden 1973). — Т. I. — С. 125. — ISBN 3-500-26010-1. (нім.)
• M. D. Fox, J. R. Goggins. Cevian Axes and Related Curves // The Mathematical Gazette. — 2007. — Т. 91, № 520 (23 грудня). — С. 3—4. Архівовано з джерела 28 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.

Посилання

• Terquem's theorem [Архівовано 26 жовтня 2021 у Wayback Machine.] на cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. Cyclocevian Conjugate(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.