Рівнодіагональний чотирикутник

Рівнодіагональний чотирикутник, ромб Варіньона, з перпендикулярними бімедіанами

В евклідовій геометрії рівнодіагональний чотирикутник — це опуклий чотирикутник, дві діагоналі якого мають рівні довжини. Рівнодіагональні чотирикутники мали важливе значення в давній індійській математиці, де в класифікації насамперед виділялися рівнодіагональні чотирикутники, і лише потім чотирикутники поділялися на інші типи[1].

Окремі випадки

Прикладами рівнодіагональних чотирикутників є рівнобічна трапеція, прямокутник та квадрат.

Рівнодіагональний дельтоїд, що максимізує відношення периметра до діаметра, вписаний у трикутник Рело

Серед усіх чотирикутників найбільше відношення периметра до діаметра має рівнодіагональний дельтоїд із кутами π/3, 5π/12, 5π/6 та 5π/12 [2] [3] .

Опис

Опуклий чотирикутник має рівні діагоналі тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона, утворений серединами сторін, є ромбом. Еквівалентна умова — бімедіани чотирикутника (діагоналі параллелограма Варіньона) перпендикулярні[4].

Опуклий чотирикутник із довжинами діагоналей ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ та довжинами бімедіан ${\displaystyle m}$ і ${\displaystyle n}$ є рівнодіагональним тоді й лише тоді, коли[5]

${\displaystyle pq=m^{2}+n^{2}.}$

Площа

Площу K рівнодіагонального чотирикутника можна легко обчислити, якщо відомі довжини бімедіан m і n . Чотирикутник рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли[6][7]

${\displaystyle \displaystyle K=mn.}$

Це прямий наслідок факту, що площа опуклого чотирикутника дорівнює подвоєній площі паралелограма Варіньона і діагоналі в цьому паралелограмі є бімедіанами чотирикутника. Якщо використати формули довжин бімедіан, площу можна виразити в термінах сторін a, b, c, d рівнодіагонального чотирикутника та відстані x між серединами діагоналей[6]

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})-4x^{2})}}.}$

Іншу формулу площі можна отримати, прийнявши p = q у формулі площі опуклого чотирикутника.

Зв'язок з іншими типами чотирикутників

Паралелограм рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли він є прямокутником[8], а трапеція рівнодіагональна тоді й лише тоді, коли вона є рівнобічною. Вписані рівнодіагональні чотирикутники є рівнобедреними трапеціями.

Існує двоїстість^[en] між рівнодіагональними чотирикутниками і ортодіагональними чотирикутниками — чотирикутник рівнодіагональний тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона має перпендикулярні діагоналі (тобто є ромбом), а чотирикутник має перпендикулярні діагоналі тоді й лише тоді, коли його паралелограм Варіньона рівнодіагональний (тобот є прямокутником)[4]. Еквівалентно, чотирикутник має рівні діагоналі тоді й лише тоді, коли його бімедіани перпендикулярні, і він має перпендикулярні діагоналі тоді й лише тоді, коли його бімедіани рівні[9]. Сільвестер[10] зауважив подальший зв'язок між рівнодіагональними і ортодіагональними чотирикутниками, узагальнивши теорему ван Обеля[11].

Чотирикутники, які одночасно ортодіагональні та рівнодіагональні, і в яких діагоналі не коротші за всі сторони чотирикутника, мають найбільшу площу відносно діаметра, що розв'язує випадок n = 4 задачі найбільшого за площею многокутника одиничного діаметра. Квадрат є одним із таких чотирикутників, але існує нескінченно багато інших. Рівнодіагональні чотирикутники з перпендикулярними діагоналями називають середньоквадратними чотирикутниками[12], оскільки це тільки ті чотирикутники, для яких паралелограм Варіньона (з вершинами в серединах сторін чотирикутника) є квадратом. Такі чотирикутники зі сторонами a, b, c та d мають площу[13]:

${\displaystyle K={\frac {a^{2}+c^{2}+{\sqrt {4(a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2})-(a^{2}+c^{2})^{2}}}}{4}}.}$

Примітки

1. Colebrooke, 1817, с. 58.
2. Ball, 1973, с. 298–303.
3. Griffiths, Culpin, 1975, с. 165–175.
4. de Villiers, 2009, с. 58.
5. Josefsson, 2014, с. 129-144, Prop.1.
6. Josefsson, 2014, с. 19.
7. Josefsson, 2014, с. 129-144, Corollary 4.
8. Gerdes, 1988, с. 137–162.
9. Josefsson, 2012, с. 13–25, См. теорему 7 на стр. 19.
10. Silvester, 2006.
11. Silvester, 2006, с. 2–12.
12. Josefsson, 2014, с. 137.
13. Josefsson, 2014, с. 129-144, T.16.

Література

• Henry-Thomas Colebrooke. Algebra, with arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — С. 58.
• D.G. Ball. A generalisation of π // Mathematical Gazette. — 1973. — Т. 57, вип. 402. — С. 298–303. — DOI:10.2307/3616052.
• David Griffiths, David Culpin. Pi-optimal polygons // Mathematical Gazette. — 1975. — Т. 59, вип. 409 (17 грудня). — С. 165–175. — DOI:10.2307/3617699.
• Martin Josefsson. Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles // Forum Geometricorum. — 2013. — Вип. 13.
• Martin Josefsson. Properties of equidiagonal quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Вип. 14.
• Paulus Gerdes. On culture, geometrical thinking and mathematics education // Educational Studies in Mathematics. — 1988. — Т. 19, вип. 2. — С. 137–162. — DOI:10.1007/bf00751229.
• Michael de Villiers. Some Adventures in Euclidean Geometry. — Dynamic Mathematics Learning, 2009. — С. 58. — ISBN 9780557102952.
• Martin Josefsson. Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12. — С. 13–25.
• John R. Silvester. Extensions of a theorem of Van Aubel // The Mathematical Gazette. — 2006. — Т. 90, вип. 517. — С. 2–12.