Найбільший многокутник одиничного діаметра

Найбільший многокутник одиничного діаметра — многокутник з n сторонами (для заданого числа n), діаметр якого дорівнює одиниці (тобто відстань між будь-якими двома його точками не перевищує одиниці), і має найбільшу площу серед інших n-кутників одиничного діаметра. Розв'язком (не унікальним) для n = 4 є квадрат, розв'язком для непарних n є правильний многокутник, при цьому для інших парних n правильний многокутник найбільшим не буде.

Чотирикутники

Площа довільного чотирикутника (${\displaystyle n=4}$) обчислюється за формулою ${\displaystyle S={\frac {pq\sin(\theta )}{2}}}$, де ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ — діагоналі чотирикутника, а ${\displaystyle \theta }$ — кут між діагоналями. Якщо діаметр многокутника не перевищує одиниці, і ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ мають не перевищувати 1. Таким чином, чотирикутник має найбільшу площу, коли всі три множники досягають найбільшого можливого значення, тобто ${\displaystyle p=q=1}$ і ${\displaystyle \sin(\theta )=1}$. Умова ${\displaystyle p=q}$ означає, що чотирикутник рівнодіагональний, а умова ${\displaystyle \sin(\theta )=1}$ означає, що він ортодіагональний (його діагоналі перпендикулярні). До таких чотирикутників належить квадрат із діагоналями одиничної довжини, що має площу ½, однак є безліч інших чотирикутників одночасно рівнодіагональних і ортодіагональних з довжинами діагоналей 1, всі вони мають таку ж площу, як квадрат. Таким чином, розв'язок не єдиний[1].

Непарна кількість сторін

Для непарних значень n Карл Райнгардт^[en] показав, що правильний многокутник має найбільшу площу серед усіх многокутників одиничного діаметра[2].

Парна кількість сторін

Найбільший многокутник одиничного діаметра із шістьма сторонами (ліворуч). Праворуч — правильний многокутник такого ж діаметра, але меншої площі.

У разі n = 6 оптимальний многокутник єдиний, однак він не є правильним. Розв'язок для цього випадку 1975 року опублікував Рональд Грем у відповідь на питання, яке поставив 1956 року Ганфрід Ленц^[de][3]. Це неправильний рівнодіагональний п'ятикутник із трикутником, прикріпленим до однієї з його сторін, і відстань від вершини цього трикутника до протилежної вершини п'ятикутника дорівнює довжині діагоналей п'ятикутника[4]. Площа цієї фігури дорівнює 0.674981…[5], і це число задовольняє рівнянню:

4096 x^10 +8192x^9 − 3008x^8 − 30848x^7 + 21056x^6 + 146496x^5 − 221360x^4 + 1232x^3 + 144464x^2 − 78488x + 11993 = 0.

Грем висловив гіпотезу, що в загальному випадку для парних n розв'язок будується аналогічно з правильних (n−1)-кутників (з одиничними діагоналями) з додаванням рівнобедреного трикутника до однієї зі сторін, відстань від вершини якого до протилежної вершини (n−1)-кутника дорівнює одиниці. Для випадку n = 8 це перевірено 2002 року за допомогою комп'ютера[6] . Для доведення Грема оптимальності його шестикутника та перевірки на комп'ютері випадку n = 8 використано перебір варіантів усіх можливих треклів із n вершинами та прямолінійними ребрами.

Повне підтвердження гіпотези Грема для всіх парних значень n надано 2007 року[7].

Примітки

1. Schäffer, 1958, с. 85–86.
2. Reinhardt, 1922, с. 251–270.
3. Lenz, 1956, с. 86.
4. Graham, 1975, с. 165–170.
5. послідовність A111969 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
6. Audet, Hansen, Messine, Xiong, 2002, с. 46–59.
7. Foster, Szabo, 2007, с. 1515–1525.

Література

• J. J. Schäffer. Nachtrag zu Ungelöste Prob. 12 // Elemente der Math.. — 1958. — Т. 13.. Як процитовано в Грема (Graham, (1975)).
• Karl Reinhardt. Extremale Polygone gegebenen Durchmessers // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1922. — Т. 31.
• H. Lenz. Ungelöste Prob. 12 // EIemente der Math.. — 1956. — Т. 11.. Як процитовано в Грема (Graham, (1975)).
• R. L. Graham. The largest small hexagon // Journal of Combinatorial Theory. — 1975. — Т. 18. — (Series A). — DOI:10.1016/0097-3165(75)90004-7.
• Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong. The largest small octagon // Journal of Combinatorial Theory. — 2002. — Т. 98, вип. 1. — (Series A). — DOI:10.1006/jcta.2001.3225.
• Jim Foster, Tamas Szabo. Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham // Journal of Combinatorial Theory. — 2007. — Т. 114, вип. 8. — (Series A). — DOI:10.1016/j.jcta.2007.02.006.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Найбільший малий многокутник(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Graham's Largest Small Hexagon, from the Hall of Hexagons