Псевдоголоморфна крива

Псевдоголоморфна крива (або J-голоморфна крива) — це математичне поняття, що позначає гладке відображення з Ріманової поверхні в майже комплексний многовид, яке задовільняє рівнянням Коші — Рімана.

Історія

Псевдоголоморфні криві були введені в 1985 році Михайлом Громовим, з тих пір вони зробили революцію у вивченні симплектичних многовидів. Зокрема, теорема про симплектичного верблюда була доведена з використанням псевдоголоморфних кривих. Вони також відіграють важливу роль в теорії струн.

Означення

Нехай ${\displaystyle X}$ майже комплексний многовид з майже комплексною структурою ${\displaystyle J}$. Нехай ${\displaystyle C}$ гладка ріманова поверхня (також називається комплексною кривою) з комплексною структурою ${\displaystyle j}$. Псевдоголоморфна крива в ${\displaystyle X}$ є відображенням ${\displaystyle f:C\to X}$, що задовольняє умові

${\displaystyle J\circ df=df\circ j,}$

Тобто диференціал ${\displaystyle df}$ комплексно-лінійний.

Джерела

• Под редакцией Элиашберга Я. и Трейнора Л. Лекции по симплектической геометрии и топологии. — МЦНМО, 2008. — 424 с. — 1000 прим. — ISBN 978-5-94057-130-8.
• Dusa McDuff and Dietmar Salamon, J-Holomorphic Curves and Symplectic Topology, American Mathematical Society colloquium publications, 2004. ISBN 0-8218-3485-1.
• M. Gromov. Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds : [арх. 13 квітня 2018] : [англ.] // Inventiones Mathematicae. — 1985. — Vol. 82. — С. 307—347.
• Donaldson, Simon K. (October 2005). What Is...a Pseudoholomorphic Curve? (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 52 (9): pp.1026—1027. Процитовано 17 січня 2008. {{cite journal}}: |pages= має зайвий текст (довідка)