Оператор координати

Опера́тор координа́ти — квантово-механічний оператор, разом з оператором імпульсу, що використовується для опису поведінки системи. Оскільки координата є дійсною величиною, то оператор координати ермітів.

У координатному поданні оператор ${\displaystyle {\hat {X}}}$ — сама координата ${\displaystyle x}$; в імпульсному поданні оператор координати виражається через похідну за імпульсом:

${\displaystyle {\hat {X}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}}$.

Оператор координати не комутує з оператором імпульсу, тобто:

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P}}]\not \equiv 0}$

Таким чином, для пари величин, що спостерігаються ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle p}$ виконується співвідношення невизначеностей Гейзенберга:

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$,

де — зведена стала Планка.

Відповідно до канонічного комутаційного співвідношення:

${\displaystyle [{\hat {X}},{\hat {P_{x}}}]=i\hbar }$

${\displaystyle [{\hat {Y}},{\hat {P_{y}}}]=i\hbar }$

${\displaystyle [{\hat {Z}},{\hat {P_{z}}}]=i\hbar }$

і решта комутаторів між ${\displaystyle {\hat {X}},{\hat {Y}},{\hat {Z}},{\hat {P_{x}}},{\hat {P_{y}}},{\hat {P_{z}}}}$ дорівнюють 0.

Середнє значення координати для стану з хвильовою функцією ${\displaystyle \psi }$ визначається як:

${\displaystyle \langle x\rangle =({\hat {X}}\psi ,\psi *)=\langle \psi \vert {\hat {X}}\vert \psi \rangle =\int \limits _{V}{x\psi ^{\ast }\psi }dV}$

Література

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — Издание 6-е. — М. : Физматлит, 2004. — Т. 3. — 800 с. — ISBN 5-9221-0530-2.