Круги Форда

Круги Форда. В основі темніших кругів підписано відповідні нескоротні дроби. Кожен круг дотикається до осі абсцис і сусідніх кругів. Нескоротні дроби з рівними знаменниками відповідають кругам одного радіуса.

Круги Форда — круги з центрами в точках з координатами ${\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))}$ і радіусами ${\displaystyle 1/(2q^{2})}$, де ${\displaystyle p/q}$ — нескоротний дріб. Кожен круг Форда дотикається до горизонтальної осі ${\displaystyle y=0}$, і будь-які два круги або дотикаються між собою, або не перетинаються.[1]

Історія

Круги Форда — особливий випадок взаємно дотичних кругів. Системи взаємно дотичних кругів вивчав Аполлоній Перзький, на честь якого названо задачу Аполлонія і сітку Аполлонія. У XVII столітті Декарт довів теорему про співвідношення між оберненими радіусами взаємно дотичних кругів[2].

Круги Форда названо на честь американського математика Лестера Форда старшого^[en], який писав про них 1938 року.

Властивості

Круг Форда, яке відповідає дробу ${\displaystyle p/q}$, позначають як ${\displaystyle C[p/q]}$ або ${\displaystyle C[p,q]}$. Кожному раціональному числу відповідає круг Форда. Крім того, півплощину ${\displaystyle y\geqslant 1}$ теж можна вважати виродженим кругом Форда нескінченного радіусу, відповідним парі чисел ${\displaystyle p=1,q=0}$.

Будь-які два різних круги Форда або не перетинаються зовсім, або дотикають між собою.

Ні в яких двох кругів Форда не перетинаються внутрішні області, попри те що в кожній точці на осі абсцис, яка має раціональну координату, до цієї осі дотикається один круг Форда.

Якщо ${\displaystyle 0<p/q<1}$, то множину кругів Форда, що дотикаються ${\displaystyle C[p/q]}$, можна описати будь-яким з таких способів:

1. круги ${\displaystyle C[r/s]}$, де ${\displaystyle |ps-qr|=1}$,
2. круги ${\displaystyle C[r/s]}$, де дроби ${\displaystyle r/s}$ сусідять з ${\displaystyle p/q}$ в якому-небудь ряді Фарея,[1] або
3. круги ${\displaystyle C[r/s]}$, де ${\displaystyle r/s}$ — найближчий менший або найближчий більший предок ${\displaystyle p/q}$ в дереві Штерна — Броко, або ${\displaystyle p/q}$ — найближчий менший або більший предок ${\displaystyle r/s}$.[1]

Круги Форда також можна розглядати як області на комплексній площині. Модулярная група перетворень комплексної площини відображає круги Форда в інші круги Форда.

Якщо інтерпретувати верхню половину комплексної площини як модель гіперболічної площини (модель Пуанкаре на півплощині), то круги Форда можна інтерпретувати як замощення гіперболічної площини орициклами.

Будь-які два круги Форда конгруентні в гіперболічній геометрії.[3] Якщо ${\displaystyle C[p/q]}$ і ${\displaystyle C[r/s]}$ — дотичні круги Форда, то півколо що проходить через точки ${\displaystyle (p/q,0)}$ і ${\displaystyle (r/s,0)}$ і перпендикулярне до осі абсцис — це гіперболічна пряма, що проходить також через точку дотику двох кругів Форда.

Круги Форда утворюють підмножину кругів, з яких складається сітка Аполлонія, задана прямими ${\displaystyle y=0}$ і ${\displaystyle y=1}$ і кругом ${\displaystyle C[0/1]}$.[4]

Загальна площа кругів

Є зв'язок між загальною площею кругів Форда, функцією Ейлера ${\displaystyle \varphi }$, дзета-функцією Рімана і сталою Апері ${\displaystyle \zeta (3)}$.[5] Оскільки ніякі два круги Форда не перетинаються по внутрішніх точках, то негайно отримуємо, що сумарна площа кругів

${\displaystyle \left\{C[p,q]:0\leqslant {\frac {p}{q}}\leqslant 1\right\}}$

менша від 1. Ця площа дається збіжною сумою, яку можна обчислити аналітично. За визначенням, шукана площа дорівнює

${\displaystyle A=\sum _{q\geqslant 1}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}\pi \left({\frac {1}{2q^{2}}}\right)^{2}.}$

Спрощуючи цей вираз, отримуємо

${\displaystyle A={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geqslant 1}{\frac {1}{q^{4}}}\sum _{(p,q)=1 \atop 1\leqslant p<q}1={\frac {\pi }{4}}\sum _{q\geqslant 1}{\frac {\varphi (q)}{q^{4}}}={\frac {\pi }{4}}{\frac {\zeta (3)}{\zeta (4)}},}$

де остання рівність використовує формулу для ряду Діріхле з коефіцієнтами, що даються функцією Ейлера. Оскільки ${\displaystyle \zeta (4)=\pi ^{4}/90}$, в результаті отримуємо

${\displaystyle A={\frac {45}{2}}{\frac {\zeta (3)}{\pi ^{3}}}\approx 0.872284041.}$

Див. також

• Поризм Штейнера
• Поризм Понселе
• Ряд Фарея
• Сітка Аполлонія
• Ланцюг Паппа Александрійського

Примітки

1. Форд Л. Р. Fractions // The American Mathematical Monthly. — 1938. — Vol. 45, no. 9 (30 December). — P. 586–601. — DOI:10.2307/2302799. JSTOR 2302799, MR1524411.
2. Коксетер Г. The problem of Apollonius // The American Mathematical Monthly. — 1968. — Vol. 75 (30 December). — P. 5–15. — DOI:10.2307/2315097. MR0230204.
3. Конвей Дж. [1] — М. : МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 прим. — ISBN 978-5-94057-268-8. Архівовано з джерела 6 серпня 2021
4. Graham, Ronald L.; Lagarias, Jeffrey C.; Mallows, Colin L.; Wilks, Allan R.; Yan, Catherine H. Apollonian circle packings: number theory // Journal of Number Theory. — 2003. — Vol. 100, no. 1 (30 December). — P. 1–45. — arXiv:math.NT/0009113. — DOI:10.1016/S0022-314X(03)00015-5., MR1971245.
5. Marszalek W. Circuits with oscillatory hierarchical Farey sequences and fractal properties // Circuits, Systems and Signal Processing. — 2012. — Vol. 31, no. 4 (30 December). — P. 1279–1296. — DOI:10.1007/s00034-012-9392-3..

Посилання

• Ford's Touching Circles [Архівовано 6 серпня 2021 у Wayback Machine.] (англ.)
• Weisstein, Eric W. Круги Форда(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.