Збіжність за мірою

Збіжність за мірою у теорії міри, функціональному аналізі і суміжних дисциплінах — це вид збіжності вимірних функцій заданих на просторі з мірою.

Частковим випадком міри є ймовірність, відповідно, збіжність за ймовірністю є частковим випадком збіжності за мірою.

Збіжність за ймовірністю у теорії ймовірностей — це вид збіжності випадкових величин заданих на ймовірнісному просторі.

Збіжність за мірою

Нехай  — простір з мірою  — вимірні функції на цьому просторі. Говорять, що послідовність функцій збігається за мірою до функції , якщо: .

Позначення: .

Збіжність за ймовірністю

Нехай дано імовірнісний простір , з визначеною на ньому послідовністю випадкових величин . Якщо для як завгодно малого , ймовірність нерівності зі збільшенням необмежено наближається до нуля, то говорять, що послідовність збігається за ймовірністю до величини .

Тобто,

.

Цю границю можна записати в інший спосіб:

.

Позначення збіжності за ймовірністю: .

Зауваження

Визначення збіжності за мірою (за ймовірністю) може бути узагальнене для відображень (випадкових елементів), що набувають значень у довільному метричному просторі.

Властивості збіжності за мірою

  • Якщо послідовність функцій збігається за мірою до , то з неї можна виділити підпослідовність , що збігається до  — майже всюди.
  • Якщо послідовність функцій збігається за мірою до , і , де , то , і збігається до у .
  • Якщо послідовність функцій збігається -майже усюди до , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність функцій збігається в до , то вона збігається і за мірою. Навпаки, взагалі кажучи, невірно.
  • Якщо послідовність випадкових величин збігається за ймовірністю до , то вона збігається до і за розподілом.

Джерела