Збіжність за розподілом

Збіжність за розподілом в теорії ймовірностей — вид збіжності випадкових величин.

Визначення

Нехай дано ймовірнісний простір і на ньому визначені випадкові величини . Кожна випадкова величина індукує ймовірнісну міру на , що називається розподілом.

Випадкові величини збігаються за розподілом до випадкової величини , якщо розподіли слабко збігаються до розподілу , тобто

для будь-якої борелевої функції .

Зауваження

  • Користуючись теоремою про заміну міри в інтегралі Лебега, остання рівність може бути переписана так:
.
  • Границя за розподілом не єдина. Якщо розподіли двох випадкових величин ідентичні, то вони або обидва є границею за розподілом послідовності випадкових величин або обидва не є.

Властивості збіжності за розподілом

  • Випадкові величини збігаються за розподілом до , якщо їх функції розподілу збігаються до функції розподілу границі у всіх точках неперервності останньої:
.
  • Якщо всі випадкові величини в означенні дискретні, то тоді і тільки тоді, коли є збіжність функцій імовірності:
.
  • Якщо всі випадкові величини в означенні абсолютно неперервні, і їх щільності збігаються:
майже скрізь, то . Обернене, взагалі кажучи, невірно!
  • Зі збіжності за ймовірністю (а, отже, і збіжності майже скрізь і в ) випливає збіжність за розподілом:
.

Обернене, взагалі кажучи, невірно.

Див. також

Література