Теорема Слуцького

Теоре́ма Слу́цького — твердження в теорії ймовірностей про деякі алгебраїчні властивості збіжності за розподілом випадкових величин. Названа на честь економіста і математика Євгена Слуцького[1]. Іноді також називається теоремою Крамера.

Формулювання

Нехай заданий ймовірнісний простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, і ${\displaystyle X_{n},Y_{m}:\Omega \to \mathbb {R} ,\,n,m\in \mathbb {N} }$ — випадкові величини. Тоді якщо

${\displaystyle X_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X}$,

де ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ — випадкова величина, і

${\displaystyle Y_{m}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }c}$,

де ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ — деяка константа, то

• ${\displaystyle X_{n}+Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}X+c}$
• ${\displaystyle X_{n}\cdot Y_{n}\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}c\cdot X}$.

Якщо також ${\displaystyle c\neq 0}$ то:

• ${\displaystyle Y_{n}^{-1}X_{n}\ {\xrightarrow {d}}\ c^{-1}X}$

Узагальнення

При тих же умовах на послідовності випадкових величин ${\displaystyle X_{n},Y_{m}}$ для неперервної функції ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ виконується рівність:

${\displaystyle f(X_{n},Y_{n})\to ^{\!\!\!\!\!\!\!{\mathcal {D}}}f(X,c)}$.

Див. також

• Збіжність випадкових величин
• Збіжність за ймовірністю;
• Збіжність за розподілом.

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006), Measure theory and probability theory, Springer, ISBN 0-387-32903-X

Примітки

1. Slutsky E. Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte // Metron. — 1925. — Т. 5, вип. 3. — С. 3–89.