Збіжність майже всюди

Збіжність майже всюди — один з видів збіжності функцій у вимірних просторах або випадкових величин.

Визначення

Термінологія теорії міри

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ — вимірний простір і ${\displaystyle f_{n},f:X\to \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N} }$. Кажуть, що ${\displaystyle \{f_{n}\}}$ збігається майже всюди (позначають ${\displaystyle f_{n}\to f}$ ${\displaystyle \mu }$ - майже всюди), якщо

${\displaystyle \mu \left(\{x\in X\mid \lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x)\not =f(x)\}\right)=0}$

Термінологія теорії ймовірностей

Якщо ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — це ймовірнісний простір та ${\displaystyle X_{n},X}$ - випадкові величини, такі що:

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\{\omega \in \Omega \mid \lim \limits _{n\to \infty }X_{n}(\omega )=X(\omega )\}\right)=1}$

то кажуть що послідовність ${\displaystyle \{X_{n}\}}$ збігається майже напевно до ${\displaystyle X}$.

Спрощений запис:

${\displaystyle \operatorname {Pr} \!\left(\lim _{n\to \infty }\!X_{n}=X\right)=1.}$

Еквівалентне означення:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\sup _{m\geq n}|X_{m}(\omega )-X(\omega )|\geq \varepsilon {\Big )}=0,\forall \varepsilon >0.}$

Для загальних випадкових величин у метричних просторах означення аналогічне:

${\displaystyle \operatorname {Pr} {\Big (}\omega \in \Omega :\,d{\big (}X_{n}(\omega ),X(\omega ){\big )}\,{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\,0{\Big )}=1}$

Властивості

• Із поточкової збіжності випливає збіжність майже всюди.
• Із збіжності майже всюди випливає збіжність за мірою, і, таким чином, слабку збіжність (збіжність за розподілом).
• Не існує топології на множині випадкових величин (або вимірних функцій у просторі з мірою), яка б породжувала збіжність майже всюди.
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність дає умови для слідування збіжності у середньому із збіжності майже всюди.

Джерела

• Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. — Москва : Наука, 1974. — 119 с.(рос.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.