Вільна абелева група

Вільна абелева група — абелева група, кожен елемент якої може бути однозначно представлений у вигляді лінійної комбінації елементів деякої множини з цілочисловими коефіцієнтами. Як і у випадку з векторними просторами, дану множину називають базисом.

Вільні абелеві групи не є вільними групами, за винятком циклічної групи і тривіальної групи, що складається з одного елемента.

Властивості

• Будь-які два базиси вільних абелевих груп є рівнопотужними. Потужність базису вільної абелевої групи називається рангом абелевої групи.
• Для довільного кардинального числа ${\displaystyle \kappa \,}$ існує вільна абелева група рангу ${\displaystyle \kappa \,}$.
• Нехай ${\displaystyle \ G}$ — вільна абелева група і ${\displaystyle \ A}$ — абелева група. Якщо існує епіморфізм ${\displaystyle \ h\colon A\to G}$, то існує підгрупа ${\displaystyle \ F}$ групи ${\displaystyle \ A}$ ізоморфна групі ${\displaystyle \ G}$ така, що ${\displaystyle A=F\oplus \ker h}$.
• Будь-яка абелева група ${\displaystyle \ A}$ гомоморфним образом вільної абелевої групи. Крім того, якщо група ${\displaystyle A\,}$ має множину генераторів потужності ${\displaystyle ~\kappa }$ то вона є гомоморфним образом вільної абелевої групи рангу ${\displaystyle \kappa \,}$. Як наслідок будь-яка абелева група ізоморфна факторгрупі вільної абелевої групи.
• Підгрупа вільної абелевої групи теж є вільною абелевою групою.

Скінченнопороджені вільні абелеві групи

У випадку скінченнопородженої вільної абелевої групи (ранг якої є деяким натуральним числом) можна дати повнішу характеристику підгруп. Нехай ${\displaystyle \ A}$ — вільна абелева група зі скінченним рангом n. Тоді підгрупа ${\displaystyle \ H}$ цієї групи є вільною абелевою групою рангу ${\displaystyle s\leqslant n}$ і можна вибрати такий базис ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ групи ${\displaystyle \ A}$ і натуральні числа ${\displaystyle m_{i},~i=1,\ldots ,s,}$ що

• Множина ${\displaystyle m_{1}x_{1},\ldots ,m_{s}x_{s}}$ є базисом підгрупи ${\displaystyle \ H;}$
• ${\displaystyle m_{i}}$ ділиться на ${\displaystyle m_{i-1}}$ для всіх ${\displaystyle i=2,\ldots ,s.}$

Доведення

Якщо ${\displaystyle \ A}$ є групою рангу 1, тобто нескінченною циклічною групою, то твердження одержується із характеристики підгруп циклічних груп. За індукцією припустимо, що твердження доведено для всіх вільних абелевих груп рангу менше n і ${\displaystyle \ A}$ є вільною абелевою групою рангу n. Для кожного базису ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ і елемента ${\displaystyle a\in \ A}$ у єдиний спосіб можна записати ${\displaystyle a=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots a_{n}x_{n}}$ де всі ${\displaystyle a_{i}}$ є цілими числами.

Нехай тепер ${\displaystyle \ H}$ є підгрупою групи ${\displaystyle \ A}$ і ${\displaystyle m}$ є мінімальним додатним цілим числом серед тих, що є коефіцієнтами у записі будь-якого елемента ${\displaystyle h\in \ H}$ через будь-який базис ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ групи ${\displaystyle \ A}$. Якщо перепозначити елементи і індекси базису можна записати:

${\textstyle h=mx_{1}+a_{2}x_{2}+\ldots a_{n}x_{n}}$

Також

${\displaystyle a_{i}=md_{i}+r_{i},\quad 0\leqslant r_{i}<m,}$ для ${\displaystyle i\in \{2,\ldots ,n\}.}$

Якщо позначити ${\displaystyle y_{1}=x_{1}+d_{2}x_{2}+\ldots +d_{n}x_{n}}$ то ${\displaystyle y_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ є базисом групи ${\displaystyle \ A}$ і

${\textstyle h=my_{1}+r_{2}x_{2}+\ldots r_{n}x_{n}}$

Згідно вибору числа ${\displaystyle m}$ тоді всі ${\textstyle r_{i}=0}$ і ${\textstyle h=my_{1}.}$

Нехай тепер ${\displaystyle \ H_{1}}$ позначає циклічну групу породжену елементом ${\textstyle h}$ і ${\displaystyle \ H_{2}}$ є підгрупою ${\displaystyle \ H}$ елементи якої записуються як комбінації елементів ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$ базису. Тоді ${\displaystyle H_{1}\cap H_{2}=\{0\}.}$

Оскільки ${\displaystyle y_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ є базисом групи ${\displaystyle \ A}$, то довільний елемент ${\displaystyle k\in \ H}$ є рівним

${\textstyle k=b_{1}y_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}$

Елемент ${\textstyle k=b_{1}y_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}$

Якщо ${\displaystyle b_{1}=md+r}$ для ${\displaystyle d,r\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant r<m,}$ то елемент ${\displaystyle k-dh=k-dmy_{1}\in H}$ записується через базис ${\displaystyle y_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ як

${\displaystyle k-dh=ry_{1}+b_{2}x_{2}+\ldots b_{n}x_{n}}$

і тому ${\displaystyle r=0}$ і відповідно ${\displaystyle b_{1}=md,}$ а тому ${\displaystyle b_{1}y_{1}=mdy_{1}=dh\in H_{1}.}$ Відповідно кожен елемент ${\displaystyle k\in \ H}$ є рівним сумі ${\displaystyle k_{1}+k_{2}}$, де ${\displaystyle k_{1}\in \ H_{1}}$ і ${\displaystyle k_{2}\in \ H_{2}.}$

Група ${\displaystyle \ A_{2}}$ — підгрупа ${\displaystyle \ A}$ породжена елементами ${\displaystyle x_{2},\ldots ,x_{n}}$ базису є вільною групою рангу n - 1 і ${\displaystyle \ H_{2}}$ є підгрупою у ${\displaystyle \ A_{2}}$. Згідно припущення індукції ${\displaystyle \ H_{2}}$ є вільною групою деякого рангу s - 1 і існує базис ${\displaystyle y_{2},\ldots ,y_{n}}$ групи ${\displaystyle \ A_{2}}$ і числа ${\displaystyle m_{i},~i=2,\ldots ,s,}$ що ${\displaystyle m_{2}y_{2},\ldots ,m_{s}y_{s}}$ є базисом групи ${\displaystyle \ H_{2}}$ і ${\displaystyle m_{i}}$ ділиться на ${\displaystyle m_{i-1}}$ для всіх ${\displaystyle i=3,\ldots ,s.}$ Тоді ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ є базисом групи ${\displaystyle \ A}$, а ${\displaystyle my_{1},m_{2}y_{2},\ldots ,m_{s}y_{s}}$ є базисом групи ${\displaystyle \ H.}$ Також ${\displaystyle m}$ ділить ${\displaystyle m_{2}}$. Справді, якщо ${\displaystyle m_{2}=md+r}$, для ${\displaystyle d,r\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant r<m,}$ то у базисі ${\displaystyle y_{1}+dy_{2},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ елемент ${\displaystyle my_{1}+m_{2}y_{2}\in H}$ записується як ${\displaystyle m(y_{1}+dy_{2})+ry_{2}.}$ Із мінімальності ${\displaystyle m}$ випливає, що ${\displaystyle r=0}$ і ${\displaystyle m_{2}=md.}$

Відповідно базис ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}}$ групи ${\displaystyle \ A}$ і числа ${\displaystyle m=m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$ (для яких ${\displaystyle m_{1}y_{1},m_{2}y_{2},\ldots ,m_{s}y_{s}}$ є базисом) задовільняють умови твердження.

Приклади

• Група ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ цілих чисел з додаванням. Базисом цієї групи може бути одна з множин ${\displaystyle \{1\},\{-1\}\,}$.
• Адитивна група кільця многочленів з цілими коефіцієнтами. Базисом цієї групи є, наприклад множина ${\displaystyle \ \{1,x,x^{2},x^{3},\ldots \}}$.

Джерела

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Джозеф Ротман^[en]. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
• Phillip A. Griffith (1970). Infinite Abelian group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press. ISBN 0-226-30870-7.