Власна частота

Незатухаюча система пружина – маса має власну частоту коливань

Вла́сна частота́ — це швидкість, з якою коливальна система має тенденцію коливатися синусоїдально з однаковою частотою за відсутності збурень. Базовий приклад стосується простих гармонійних осциляторів, таких як ідеалізована пружина без втрати енергії, де система демонструє коливання постійної амплітуди з постійною частотою. Явище резонансу виникає, коли вимушена вібрація відповідає власній частоті системи.

Концепція власних частот також застосовна у хвильовій теорії, оптиці та квантовій механіці. Велика кількість фізичних систем поводять себе як гармонічні осцилятори у разі незначного відхилення від рівноваги. До них належать математичний маятник (з малими кутами відхилення), фізичний та торсіонний маятники, вантаж на пружині, коливання атомів у молекулах і твердих тілах [1]. Серед прикладів, варто вирізняти електричні коливальні контури, оскільки з ними ми стикаємося у сучасному житті повсякчас — це майже всі електротехнічні прилади, з якими ми знайомі ледь не від народження (наприклад електронні системи, комп'ютери, акустичні системи, квантові системи) [2].

Класичний осцилятор

Гармонічний осцилятор — система (у класичній механіці), яка у разі зміщення зі стану рівноваги під дією певної сили, повертається до попереднього стану під дією зворотної сили, пропорційної зміщенню (наприклад, за законом Гука у випадку з механічними коливаннями):

${\displaystyle F=-kx\,}$,

де ${\displaystyle k}$ — додатна константа, що описує жорсткість системи. Якщо ${\displaystyle ~F}$ — єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим гармонійним осцилятором. Вільними коливаннями такої системи, є періодичний рух навколо стану рівноваги (гармонійні коливання). Частота не залежить від амплітуди, є характеристикою системи та називається власною. Еволюція гармонічного осцилятора з часом описується диференціальним рівнянням:

${\displaystyle {\ddot {x}}(t)+\omega ^{2}x(t)=0}$,

де ${\displaystyle x}$ — узагальнена координата гармонічного осцилятора, ${\displaystyle t}$ — час, ${\displaystyle \omega }$ — власна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина ${\displaystyle x}$ здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор має центральне значення як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Гармонічний звукоряд — це послідовність всіх кратних до базової частоти. Гармонічний звукоряд струни, зі зменшенням довжини хвилі в n разів, відповідно збільшується частота.

Натуральний звукоряд

При збудженні струни, наприклад ударом або щипком, вона починає здійснювати коливальні рухи, при яких всі її ділянки зміщуються в поперечному напрямку. Всі коливальні рухи є періодичними, тобто точно повторюються з часом. Один період є найменшою одиницею повторення функції та повністю описує функцію. Функцію періодичної форми можна показати знайшовши деякий період T для якого таке рівняння істинне:

${\displaystyle x(t)=x(t+T)}$.

Це означає, що для часу кратного деякому періоду T значення сигналу завжди однакове. Найменше можливе значення T для якого це так називається фундаментальним періодом і фундаментальною частотою ${\displaystyle \omega _{1}}$є:

${\displaystyle \omega _{1}={\frac {1}{T}}\times 0.5}$.

Будь-яке коливання струни можна представити у вигляді суми її гармонічних власних коливань, частоти яких ${\displaystyle \omega _{n}}$ залежать від довжини струни l, площі перетину S, натягу Q та густини матеріалу ρ наступним чином:

${\displaystyle \omega _{n}={\frac {n}{2l}}{\sqrt {\frac {Q}{\rho S}}}}$,

де n — ціле число, що відповідає номеру гармоніки. В результаті утворюється натуральний звукоряд, що складається з основного тону (n=1) та гармонічних обертонів (n>1). Основна частота утворюється коливанням струни музичного інструмнта у повному об'ємі, тоді як обертони утворюються коливанням струни частинами та відповідають частотам, які утворюють з основною частотою кратні відношення [3]. Відповідно інтенсивність звукового сигналу ${\displaystyle I(t)}$ задається суперпозицією всіх власних частот:

${\displaystyle I(t)=\sum _{n}A_{n}e^{-i\omega _{n}t}}$.

Обчислення ряду Фур'є від інтенсивності звукового сигналу ${\displaystyle I(t)}$ дає амплітуди ${\displaystyle A_{n}}$ всіх гармонік, які разом передають звучання музичного інструменту. Отже, повна механічна енергія середовища, у якому існують стоячі хвилі, може бути представлена як сума енергій гармонічних осциляторів. Такий підхід використав М. Планк при обґрунтуванні гармонічного осцилятора в квантовій механіці в 1900 році[4].

Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

У квантовій механіці, стан ${\displaystyle \ |\psi \rangle }$ системи описується її хвильовою функцією ${\displaystyle \ \psi (x,t)}$, що є розв’язком рівняння Шредінгера[5]. Квадрат абсолютного значення ${\displaystyle \ \psi }$, тобто:

${\displaystyle \ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$,

це щільність ймовірності знаходження частинки в позиції x у момент часу t. Зазвичай, коли хвильова функція пов’язана з якимось потенціалом, розкладається на суперпозицію хвильових функцій ${\displaystyle \ \psi (x,t)}$, кожна з яких коливається з власною частотою ${\displaystyle \omega _{n}=E_{n}/\hbar }$. Тому суперпозицію можна виразити:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-i\omega _{n}t}}$.

Власні частоти ${\displaystyle \omega _{n}}$ мають фізичне значення за межами ортонормального базису. Коли вимірюється енергія системи, суперпозиція згортається в одну зі своїх власних хвильових функцій, що відповідає виміряній енергії. Прикладом квантового осцилятора може бути коливний рух атомів і молекул у вузлах кристалічної ґратки.

Див. також

• Оптика
• Гармонійний осцилятор
• Хвильова функція
• Висота звуку
• Основна частота
• Натуральний звукоряд

Посилання

1. М.А.Ельяшевич. Атомная и молекулярная спектроскопия. — М.: Физматгиз, 1962; М.: Эдиториал УРСС, 2001
2. Механічні коливання і хвилі. Конспект лекцій, Суми, Вид-во Сум ДУ, 2007, 75 с.[1] [Архівовано 15 грудня 2017 у Wayback Machine.]
3. Алдошина И. Основы психоакустики. c.79
4. Слободянук О.В. Механіка, Підручнік. — Київ : Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2016. — 479 с.
5. Вакарчук І. О. Квантова механіка. — 4-е видання, доповнене. — Львів : ЛНУ ім. Івана Франка, 2012. — 872 с.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Білий М. У. (1973). Атомна фізика. Київ: Вища школа.
• СПЕКТРОФОТОМЕТРІЯ [Архівовано 21 березня 2016 у Wayback Machine.]